Докажем, что форвардная и фьючерсная цены при постоянной процентной ставке эквивалентны. Предположим, что фьючерсный контракт длится п дней, и обозначим фьючерсные цены в конце i-го дня через Fi (0 < i < п). Кроме того, обозначим через δ дневную безрисковую процентную ставку, которая считается постоянной. Рассмотрим следующую стратегию.
1. В конце нулевого дня (т.е. в начале контракта) занять длинную фьючерсную позицию по еδ контрактам.
2. В конце первого дня увеличить длинную позицию е2δ контрактов.
3. В конце второго дня увеличить длинную позицию до е3δ контрактов и т.д.
Итоги этой стратегии продемонстрированы в табл. 5.6. В начале i-го дня инвестор занимает длинную позицию по е3δi контрактам. Прибыль (а возможно, и убыток) от этой позиции в течение i-го дня равна
Предположим, что эта прибыль накапливается до n-го дня. В конце этого дня прибыль равна
Стоимость всей инвестиционной стратегии в конце n-го дня равна
Эту сумму можно вычислить следующим образом.
Поскольку величина Fn совпадает с окончательной ценой спот актива ST, окончательную стоимость этой стратегии можно записать следующим образом.
Инвестиция суммы, равной F0, в безрисковую облигацию по описанной выше стратегии принесет в момент T следующую прибыль.
При этом для всех описанных выше длинных фьючерсных позиций не требуется никаких инвестиций. Следовательно, чтобы в момент T получить сумму, равную STenδ, можно инвестировать сумму, равную F0.
Предположим далее, что форвардная цена в конце нулевого дня равна G0. Инвестируя эту сумму в безрисковую облигацию и занимая длинную форвардную позицию в еnδ форвардных контрактах, инвестор гарантированно получает в момент Т сумму STenδ. Итак, существуют две инвестиционные стратегии: одна из них требует первоначального взноса, равного F0, а вторая – первоначального взноса, равного G0. В результате обеих стратегий в момент Т инвестор получает сумму, равную STenδ. Следовательно, при отсутствии арбитражных возможностей выполняется условие
Иначе говоря, фьючерсная цена и форвардная цена идентичны. Обратите внимание, что это доказательство не требует, чтобы расчеты проводились ежедневно. Фьючерсная цена, основанная на контракте с еженедельными расчетами, также совпадает с форвардной ценой, если выполняются соответствующие условия.
|