Распространим анализ на двухступенчатые биномиальные деревья, как показано на рис. 11.3. Допустим, что первоначальная цена акции равна 20 долл. и в каждый из двух моментов времени она либо увеличивается, либо уменьшается на 10%. Кроме того, предположим, что шаг по времени равен трем месяцам, а безрисковая процентная ставка равна 12% годовых. Как и прежде, будем полагать, что цена исполнения опциона равна 21 долл.
Цель анализа – вычислить цену опциона в корне дерева. Это можно сделать, повторно применяя принципы, описанные в предыдущем разделе. Дерево, изображенное на рис. 11.4, похоже на дерево, представленное на рис. 11.3, однако в последнем дереве, кроме цены акции, у каждого узла указана цена опциона. (Вверху указана цена акции, а внизу – цена опциона.) Цены опциона в конечных узлах вычисляются легко. Они равны выигрышам, которые приносят опционы. В узле D цена акции равна 24,2 долл., а цена опциона равна 24,2 – 21 = 3,2 долл. В узлах Е и F опцион приносит проигрыш, и его стоимость равна нулю.
В узле С цена опциона равна нулю, поскольку этот узел является предшественником как узла Е, так и узла F, а в обоих этих узлах стоимость опциона равна нулю. Чтобы вычислить цену опциона в узле В, сосредоточим наше внимание на части дерева, представленной на рис. 11.5. Учитывая, что и – 1,1, d – 0,9, r = 0,12 и Т = 0,25, получаем, что р = 0,6523. Из формулы (11.2) следует, что стоимость опциона в узле В равна
Осталось вычислить стоимость опциона в корне дерева. Для этого обратим внимание на первую ступень дерева. Нам известно, что стоимость опциона в узле В равна 2,0257, а в узле С – нулю. Следовательно, по формуле (11.2) получаем, что в узле А стоимость опциона равна
Обратите внимание на то, что этот пример сконструирован так, чтобы величины и и d (пропорциональное увеличение или уменьшение цены) в каждом узле были одинаковыми, а шаги по времени имели одинаковую длину. В результате риск-нейтральная вероятность р, вычисленная по формуле (11.3), в каждом узле принимает одно и то же значение.
|