Рейтинг брокеров бинарных опционов
2018

Кто такие брокеры бинарных опционов Как выбрать брокера бинарных опционов Надежные брокеры бинарных опционов Честные брокеры бинарных опционов Лучшие брокеры
бинарных опционов
2018

11.7 Сопоставление волатильности с помощью параметров u и d

На практике, при построении биномиального дерева, отражающего изменение цены акции, для оценки ее волатильности используются параметры и и d. Чтобы понять, как это происходит, обозначим ожидаемую доходность акции (в реальном мире) через μ, а ее волатильность – через σ. На рис. 11.9, а продемонстрировано изменение цены акции в момент первого разветвления биномиального дерева. Длина шага по времени равна Δt. Цена акции либо увеличивается на величину, пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом u, либо уменьшается на величину, пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом d. Вероятность изменения цены акции в реальном мире равна р*.

Альпари

Цена акции, ожидаемая в конце первого расчетного интервала, равна S0eμ Δt. На биномиальном дереве цена акции, ожидаемая в этот момент, равен

Чтобы сопоставить цену акции, ожидаемую в конце первого расчетного интервала, и цену акции, вычисленную с помощью биномиального дерева, запишем следующее уравнение.

Отсюда следует, что

(11.11)

Чтобы сопоставить волатильность цены акции с параметрами дерева, составим следующее уравнение.

(11.12)

Подставляя выражение (11.9) в формулу (11.10), получаем

Отбрасывая слагаемые, содержащие множитель Δt2 и более высокие степени величины Δt, решение этого уравнения можно записать в следующем виде.

(11.13)

(11.14)

Эти формулы для вычисления параметров u и d были предложены Коксом, Россом и Рубинштейном (1979).

Анализ, проведенный в этой главе, показывает, что при оценке опциона дерево, изображенное на рис. 11.9, а, можно заменить деревом, изображенным на рис. 11.9, б, в котором вероятность роста цены акции равна р, а затем выполнять вычисления в соответствии с риск-нейтральной моделью. Величина р, представляющая собой риск-нейтральную вероятность роста акций, вычисляется по формуле (11.3), т.е.

(11.15)

где

(11.16)

На рис. 11.9, б видно, что ожидаемая цена акции в конце расчетного интервала равна S0erΔt, что соответствует формуле (11.4). Дисперсия цены акции равна

Подставляя вместо u и v выражения (11.13) и (11.14) и отбрасывая члены, содержащие множитель Δt2 и более высокие степени величины Δt, получаем, что эта дисперсия равна σ2 Δt.

Анализ показывает, что при переходе из риск-нейтрального мира в реальный ожидаемая доходность акции изменяется, однако ее волатильность остается прежней (по крайнем мере при величине Δt, стремящейся к нулю). Этот результат называется теоремой Гирсанова (Girsanov's theorem). При переходе их мира с одним набором рисковых предпочтений в мир с другими предпочтениями, ожидаемая скорость роста переменных также изменяется, но их волатильность по-прежнему остается неизменной. Более детально это явление исследуется в главе 25. Переход от одной системы рисковых предпочтений к другой иногда называется изменением меры (changing the measure). Мера, применяемая в реальном мире, иногда называется Р-мерой (P-measure), а мера, используемая в риск-нейтральном мире, – Q-мерой (Q-measure).

Вернемся к американскому опциону "пут", оцененному с помощью дерева, изображенного на рис. 11.8. В этом варианте цена акции равна 50 долл., цена исполнения – 52 долл., безрисковая процентная ставка – 5%, продолжительность опциона – 2 года. Кроме того, для построения биномиального дерева использовано два шага по времени. В данном случае Δt = 1. Предположим, что волатильность σ равна 30%. Тогда из формул (11.13)-(11.16) следует, что

Соответствующее дерево изображено на рис. 11.10. Стоимость опциона "пут" равна 7,43 долл. Эта сумма отличается от стоимости опциона, вычисленной с помощью дерева, представленного на рис. 11.8, поскольку ранее мы предполагали, что u = 1,2 и d – 0,8.


Яндекс.Метрика
  Альпари Binomo InstaForex
Лучшие брокеры 2018: Брокер «Альпари» Брокер «Binomo» Брокер «InstaForex»
Содержание Далее