Процесс, которому подчиняется рассмотренная выше переменная, называется винеровским (Wiener process). Он представляет собой частный случай марковского стохастического процесса, когда математическое ожидание изменений переменной равно нулю, а их дисперсия равна 1,0. Этот процесс широко используется в физике для описания движения частицы, участвующей в большом количестве столкновений с молекулами (это явление называется броуновским движением (Brownian motion)).
Говоря формально, переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет следующие свойства.
СВОЙСТВО 1. Изменение Δz на протяжении малого промежутка времени Δt удовлетворяет равенству
где ε – случайная величина, подчиняющаяся стандартизованному нормальному распределению φ(0,1).
СВОЙСТВО 2. Величины Δz на двух малых промежутках времени Δt являются независимыми.
Из первого свойства следует, что величина Δz имеет нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно √Δt , а дисперсия равна Δt. Второе свойство означает, что величина z подчиняется марковскому процессу.
Рассмотрим увеличение переменной z на протяжении относительно долгого периода времени Т. Это изменение можно обозначить как z(T) – z(0). Его можно представить в виде суммы увеличения переменной z на протяжении N относительно малых промежутков времени, имеющих длину Δt. Здесь
Следовательно,
(12.2)
где εi,i = l,2,...,N – случайные величины, имеющие распределение вероятностей φ(0,1).
Из второго свойства винеровского процесса следует, что величины εi являются независимыми друг от друга. Из выражения (12.2) следует, что случайная величина z(T) – z(0) имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно нулю, дисперсия равна NΔt = Т, а стандартное отклонение – √T. Эти выводы согласуются с результатами, указанными выше.
|