|
Для иллюстрации леммы Ито рассмотрим форвардный контракт на бездивидендную акцию. Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и равна r для всех сроков погашения облигаций. Формула (5.1) утверждает, что
где F0 – форвардная цена в нулевой момент времени, S0 – цена спот в нулевой момент времени, а T – срок действия контракта.
Нас интересует, что произойдет с форвардной ценой с течением времени. Пусть F и S – форвардная цена и цена акции в некий момент времени t соответственно (t < T). Величины F и S связаны между собой следующим соотношением.
 (12.15)
Предполагая, что процесс, описывающий поведение переменной S, определяется уравнением (12.13), мы можем применить лемму Ито и определить процесс, описывающий поведение переменной F. Из равенства (12.15) следует, что
Используя уравнение (12.14), получаем, что процесс, описывающий поведение переменной F, имеет следующий вид.
Заменяя выражение Ser(T-t) переменной F, получаем уравнение
 (12.16)
Как и цена акции S, форвардная цена F подчиняется законам геометрического броуновского движения. Ее скорость роста ожидаемой доходности равна μ – r, а не μ. Скорость роста функции F представляет собой дополнительную доходность за счет цены акции S при безрисковой процентной ставке.
|
