Упражнения

12.12. Допустим, что ожидаемая доходность цены акции равна 16% годовых, а его волатильность – 30% годовых. Вычислите следующие величины, считая, что цена акции в конце определенного дня равен 50 долл.

1) Ожидаемая цена акции в конце следующего дня.

2) Стандартное отклонение цены акции в конце следующего дня.

3) 95%-ные доверительные границы для цены акции в конце следующего дня.

12.13. Доля активов компании, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности (млн долл.), описывается обобщенным винеровским процессом, скорость дрейфа которого равна 0,1 млн долл. в месяц, а дисперсия – 0,16 млн долл. в месяц. Первоначальная доля равна 2,0 млн долл.

1) Какое распределение вероятностей будет иметь эта доля активов компании через один, шесть или двенадцать месяцев?

2) Какова вероятность того, что через шесть месяцев и через год эта доля активов станет отрицательной?

3) В какой момент вероятность отрицательной доли актива будет наибольшей?

12.14. Предположим, что х – доходность бессрочной правительственной облигации, выплаты по которой равны одному доллару в год. Допустим, что процентный доход начисляется и выплачивается непрерывно, а доходность описывается следующим стохастическим процессом.

где a, X₀ И S – положительные константы, a dz – винеровский процесс. Какой процесс описывает цену облигации? Чему равен ожидаемый мгновенный доход владельца облигации (включая процентный доход и капитальную прибыль)?

12.15. Предположим, что величина S подчиняется законам геометрического броуновского движения (12.6). Какой процесс описывает поведение следующих случайных величин?

1) y = 2S.
2) y = S².
3) y = e^S.
4) y = е^r(T-t)/S.

Выразите коэффициенты при членах dt и dz через величину у, а не S.

12.16. Текущая цена акции равна 50 долл. Его ожидаемая доходность и волатильность равны 12% и 30% соответственно. Какова вероятность того, что через два года цена акции будет больше 80 долл.? (Подсказка: если In S_T > In 80, то S_T > 80.)