Пример из деловой практики 13.1. Доходность взаимных фондов может вводить в заблуждение

Разница между параметрами μ и μ – σ² /2 часто проявляется в отчетах о доходности взаимных фондов. Предположим, что управляющий некоего взаимного фонда указал в отчете за пять лет следующие значения, представляющие собой показатели годовой доходности.

15% 20% 30% -20% 25%

Арифметическое среднее этих чисел, представляющее собой их сумму, деленную на пять, равно 14%. Однако инвестор, вложивший деньги на пять лет, на самом деле получит меньше 14% годовых. Стоимость 100 долл. через пять лет будет равной следующей величине.

100 х 1,15 х 1,20 х 1,30 х 0,80 х 1,25 = 179,40 долл.

В противоположность этому, 14% годовых при ежегодном начислении принесло бы

100 х 1,14⁵ = 192,54 долл.

Фактическая средняя доходность к концу пятого года равна

100 х 1,124⁵ – 1 = 179,40 долл.

т.е. 12,4% годовых.

Какую же среднюю доходность должен был указать управляющий взаимным фондом? Ему было бы выгодно заявить: "Средняя годовая доходность, полученная нами за пять лет, равна 14%". Несмотря на то что это правда, такое утверждение является неоднозначным. Намного точнее сказать: "Средняя доходность, полученная вкладчиком нашего фонда за последние пять лет, равна 12,4% в год". В некоторых странах регулирующие органы требуют, чтобы управляющие инвестиционными фондами отчитывались именно так.

Это явление хорошо известно математикам. Так, геометрическое среднее нескольких чисел, не совпадающих друг с другом, всегда меньше арифметического среднего. В нашем примере доходность вычисляется путем последовательного умножения чисел 1,15, 1,20, 1,30, 0,80 и 1,25. Арифметическое среднее этих чисел равно 1,140, а геометрическое среднее – только 1,124.