|
14.1. Текущая стоимость инвестиционного портфеля равна 10 млн долл., а коэффициент бета – 1,0. Текущее значение индекса S&P 100 равно 500. Как с помощью опциона на продажу индекса S&P 100 с ценой исполнения 480 долл. обеспечить страхование инвестиционного портфеля?
14.2. "Умея оценить опцион на акцию с известной дивидендной доходностью, мы сможем оценить опционы на фондовые индексы, валюты и фьючерсы." Объясните смысл этого высказывания.
14.3. Фондовый индекс в настоящее время равен 300, доходность индекса равна 3% годовых, а безрисковая процентная ставка установлена на уровне 8% годовых. Чему равна нижняя граница стоимости шестимесячного европейского опциона на покупку индекса, если его цена исполнения равна 290 долл.?
14.4. Единица иностранной валюты в настоящий момент стоит 0,80 долл. Через два месяца ее курс либо возрастет, либо понизится на 2%. Внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 6 и 8% годовых. Чему равна стоимость европейского опциона на покупку валюты с ценой исполнения 0,80 долл.?
14.5. Объясните разницу между опционом на покупку иены и опционом на покупку фьючерса на поставку иены.
14.6. Объясните, как использовать валютные опционы для хеджирования.
14.7. Вычислите стоимость трехмесячного европейского опциона на покупку фондового индекса, если его значение равно 250, безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, волатильность индекса равна 18% в год, а доходность индекса – 3% годовых.
14.8. Проанализируйте американские опционы на покупку фьючерсов, в которых фьючерсный и опционный контракты истекают одновременно. При каких обстоятельствах фьючерсный опцион стоит дороже, чем соответствующий американский опцион на базовый актив?
14.9. Вычислите стоимость восьмимесячного европейского опциона на продажу фондового индекса, если валютный курс равен 0,52 долл., волатильность курса равна 12% в год, внутренняя безрисковая процентная ставка – 4% годовых, а внешняя безрисковая процентная ставка – 8% годовых.
14.10. Почему фьючерсные опционы на поставку казначейских обязательств котируются активнее, чем сами опционы на казначейские обязательства?
14.11. "Фьючерсная цена напоминает акцию с известной доходностью." Чему равна эта доходность?
14.12. В настоящий момент фьючерсная цена равна 50 долл. Через шесть месяцев она будет равна либо 56 долл., либо 46 долл. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона "колл" с ценой исполнения 50 долл.?
14.13. Вычислите стоимость пятимесячного европейского опциона "пут", если фьючерсная цена равна 19 долл., цена исполнения – 20 долл., безрисковая процентная ставка – 12% годовых, а волатильность фьючерсной цены – 20% годовых.
14.14. Общая доходность индекса отражает доходность определенного инвестиционного портфеля с учетом выплаты дивидендов. Объясните, как оценить 1) форвардный контракт и 2) европейский опцион на индекс.
14.15. Текущее значение индекса S&P 100 равно 696, а его волатильность равна 30% в год. Безрисковая процентная ставка равна 7% годовых, причем дивидендная доходность индекса равна 4% годовых. Вычислите стоимость трехмесячного европейского опциона "пут" с ценой исполнения, равной 700 долл.
14.16. Что представляет собой паритет европейских валютных опционов "колл" и "пут"?
14.17. Курс иностранной валюты в настоящий момент равен 1,50 долл. Внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 5 и 9% годовых соответственно. Вычислите нижнюю границу стоимости шестимесячных европейского и американского опционов на покупку валюты с ценой исполнения 1,40 долл.?
14.18. Текущее значение индекса равно 250. Дивидендная доходность индекса равна 4% годовых, его волатильность – 30% в год, а безрисковая процентная ставка – 6% годовых. Трехмесячный европейский опцион на покупку индекса с ценой исполнения 245 долл. в настоящий момент стоит 10 долл. Чему равна стоимость трехмесячного европейского опциона на продажу индекса с ценой исполнения 245 долл.?
14.19. Следует ли ожидать, что волатильность фондового индекса будет отличаться от волатильности цены обычной акции? Аргументируйте свой ответ.
14.20. Как изменяется стоимость страховки инвестиционного портфеля при возрастании коэффициента β? Аргументируйте свой ответ.
14.21. Предположим, что инвестиционный портфель стоит 60 млн долл., а индекс S&P 500 равен 1 200. Какой опцион необходимо купить, чтобы обеспечить защиту портфеля от падения его стоимости ниже 54 млн долл. через один год, если стоимость портфеля отражает стоимость индекса?
14.22. Вернемся к ситуации, описанной в задаче 14.21. Допустим, что коэффициент β инвестиционного портфеля равен 2,0, безрисковая процентная ставка равна 5% годовых, а дивидендная доходность как портфеля, так и индекса равна 3% годовых. Какой опцион необходимо купить, чтобы обеспечить защиту портфеля от падения его стоимости ниже 54 млн долл. через один год?
14.23. Допустим, вы купили опцион на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку золота в октябре с ценой исполнения 400 долл. за унцию. Каждый контракт заключается на поставку 100 унций. Что произойдет, если вы исполните этот опцион в тот момент, когда октябрьская фьючерсная цена равна 377 долл., а последняя расчетная цена – 380 долл.?
14.24. Допустим, вы продали опцион на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку крупного рогатого скота в апреле с ценой исполнения 70 центов за фунт. Каждый контракт заключается на поставку 40 000 унций живого веса. Что произойдет, если контракт будет исполнен в тот момент, когда фьючерсная цена равна 76 центов за фунт, а последняя расчетная цена равна 75 центов?
14.25. Рассмотрим двухмесячный опцион на покупку фьючерсов с ценой исполнения 40 долл., когда безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Текущая фьючерсная цена равна 47 долл. Чему равна нижняя граница стоимости фьючерсного опциона 1) европейского и 2) американского типа?
14.26. Рассмотрим четырехмесячный опцион на покупку фьючерсов с ценой исполнения 50 долл., когда безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Текущая фьючерсная цена равна 47 долл. Чему равна нижняя граница стоимости фьючерсного опциона 1) европейского и 2) американского типа?
14.27. Текущая фьючерсная цена равна 60 долл. Известно, что в каждый из следующих двух трехмесячных периодов она либо увеличится, либо уменьшится на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 60 долл.? Стоит ли исполнять опцион досрочно, если он относится к американскому типу?
14.28. Вернемся к задаче 14.27. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона на продажу фьючерса с ценой исполнения 60 долл.? Стоит ли исполнять опцион досрочно, если он относится к американскому типу? Убедитесь, что цена опциона на покупку фьючерса, вычисленная при решении задачи 14.27, и цена опциона на продажу фьючерса, вычисленная при решении данной задачи, не нарушают паритета опционов "колл" и "пут".
14.29. Текущая фьючерсная цена равна 25 долл., волатильность равна 30% в год, а безрисковая процентная цена равна 10% годовых. Чему равна стоимость девятимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 26 долл.?
13.30. Текущая фьючерсная цена равна 70 долл., волатильность равна 20% в год, а безрисковая процентная цена равна 6% годовых. Чему равна стоимость пятимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 65 долл.?
14.31. Текущая фьючерсная цена равна 35 долл. Рыночная цена европейских опционов на покупку и продажу фьючерсов с ценой исполнения 34 долл. равна 2 долл. Безрисковая процентная цена равна 10% годовых. Выявите арбитражные возможности. Будем считать, что каждый опцион действует в течение одного года.
14.32. "Цена европейского опциона "без проигрыша" на покупку фьючерса всегда равна цене аналогичного европейского опциона "без проигрыша" на продажу фьючерса." Обоснуйте это утверждение.
14.33. Текущая фьючерсная цена равна 30 долл. Безрисковая процентная цена равна 5% годовых. Трехмесячный американский опцион на покупку фьючерса с ценой исполнения 28 долл. стоит 4 долл. Вычислите границы цены трехмесячного американского опциона на продажу фьючерса с ценой исполнения 28 долл.
14.34. Можно ли опцион на обменный курс иена-евро создать из двух опционов, один из которых заключается на обменный курс доллар-евро, а другой – на обменный курс доллар-иена? Аргументируйте свой ответ.
14.35.Некоей корпорации известно, что через три месяца она получит 5 млн долл., предназначенных для инвестирования на 90 дней под ставку LIBOR минус 50 базисных пунктов. Корпорация желает гарантировать, что полученная ставка не будет меньше 6,5%. Какую позицию должна занять корпорация в опционе на биржевую процентную ставку?
14.36. Докажите равенства (14.1)–(14.3), используя следующие портфели.
Портфель А: один европейский опцион "колл" и денежная сумма Ке-rT;
Портфель Б: акции стоимостью e-qT, дивиденды по которым реинвестируются в дополнительные акции;
Портфель В: один европейский опцион "пут" и акции на сумму е-qT, дивиденды по которым инвестируются в дополнительные акции;
Портфель Г: денежная сумма Ке-rT.
14.37. Докажите, что если С – стоимость американского опциона с ценой исполнения К и сроком действия Т на покупку акции с дивидендной доходностью q,aP – цена американского опциона на продажу этих же акций с той же ценой исполнения и сроком действия, то
где S0 – цена акции, r – безрисковая процентная ставка и r > 0. (Подсказка: чтобы доказать левое неравенство, проанализируйте следующие инвестиционные портфели.
Портфель А: европейский опцион "колл" и сумма К, инвестированная под безрисковую процентную ставку;
Портфель Б: американский опцион "пут" и акция стоимостью e-qT, дивиденды по которой реинвестируются в акции.
Чтобы доказать правое неравенство, рассмотрите следующие инвестиционные портфели.
Портфель В: американский опцион "колл" и сумма Ке-rT, инвестированная под безрисковую процентную ставку;
Портфель Г: европейский опцион "пут" и акция, дивиденды по которой реинвестируются в акции.)
14.38. Докажите, что если С – стоимость американского опциона на покупку фьючерсного контракта с ценой исполнения К и сроком действия Т, а Р –цена американского опциона на продажу фьючерсного контракта с той же ценой исполнения и сроком действия, то
где F0 – фьючерсная цена, r – безрисковая процентная ставка. Будем считать, что r > 0 и между форвардными и фьючерсными контрактами нет никакой разницы. (Подсказка: воспользуйтесь подсказками к задаче 14.37.)
13.39. Предположим, что изменения курса валюты А описываются через курс валюты В с помощью следующего стохастического процесса.
где rA – безрисковая процентная ставка в валюте А, а rB ~ безрисковая процентная ставка в валюте В. Запишите стохастический процесс, описывающий изменения курса валюты В через курс валюты А.
|
