15.24. Проанализируйте однолетний европейский опцион на покупку акции, цена которой равна 30 долл., цена исполнения – 30 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность – 25% в год. Используя программу DerivaGem, вычислите цену опциона, а также его коэффициенты дельта, гамма, вега, тета и ро. Проверьте правильность значения коэффициента дельта, изменив цену акции до 30,1 долл. и вычислив заново цену опциона. Проверьте правильность значения коэффициента гамма, вычислив коэффициент дельта для ситуации, в которой цена акции равна ЗОЛ долл. Вычислите аналогичные вычисления для верификации коэффициентов вега, тета и ро. Используя функции программы DerivaGem Applications Builder, постройте графики зависимостей цены опциона, а также коэффициентов дельта, гамма, вега, тета и ро от цены акции.
15.25. Финансовая организация владеет следующим портфелем внебиржевых опционов на фунты стерлингов.
На рынке доступен опцион с коэффициентом дельта, равным 0,6, коэффициентом гамма, равным 1,5, и коэффициентом вега, равным 0,8.
1) Какие позиции по опциону и фунтам стерлингов обеспечивают гамма-и дельта-нейтральность инвестиционного портфеля?
2) Какие позиции по опциону и фунтам стерлингов обеспечивают вега-и дельта-нейтральность инвестиционного портфеля?
15.26. Вернемся к ситуации, описанной в задаче 15.25. Допустим, что коэффициент дельта второго опциона равен 0,1, коэффициент гамма – 0,5, а коэффициент вега – 0,6. Как обеспечить дельта-, гамма- и вега-нейтральность инвестиционного портфеля?
15.27. Депозитный сертификат, предлагаемый банком, гарантирует, что доход, полученный инвестором на протяжении шести месяцев, будет 1) больше нуля и 2) равен 40% дохода, полученного благодаря изменению фондового индекса. Инвестор планирует вложить в эти сертификаты 100000 долл. Опишите выигрыш инвестора, интерпретируя сертификат как опцион на фондовый индекс. Выгодна ли эта сделка для инвестора, если безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, дивидендная доходность индекса равна 3% годовых, а волатильность индекса равна 25% в год?
15.28. Формула для вычисления цены европейского фьючерсного опциона "колл" F0 из главы 14 имеет вид
где
а К, r, Т и σ – цена исполнения, процентная ставка, время, оставшееся до истечения срока действия опциона, и волатильность соответственно.
1) Докажите, что
2) Докажите, что коэффициент дельта цены опциона по отношению к цене фьючерса равен
3) Докажите, что коэффициент вега цены опциона равен
4) Докажите формулу для вычисления коэффициента ро для фьючерсного опциона "колл", приведенную в конце раздела 15.9. Коэффициенты дельта, гамма, тета и вега фьючерсного опциона "колл" совпадают с соответствующими коэффициентами опциона на покупку акции с доходностью q, где величина q заменяется величиной r, а величина S0 – величиной F0. Объясните, почему это утверждение перестает быть верным для коэффициента ро, характеризующего фьючерсный опцион "колл".
15.29. Используя программу DerivaGem, проверьте справедливость формулы (15.7) для опциона, рассмотренного в разделе 15.1. (Подсказка: программа DerivaGem вычисляет величину коэффициента тета в расчете на календарные дни, а в формуле (15.7) коэффициент тета указан в расчете на год.)
15.30. Используя функции программы DenvaGem Application Builder, воспроизведите табл. 15.2. (Обратите внимание на то, что в табл. 15.2 позиция но акции округлена до сотни штук.) Вычислите еженедельные значения коэффициентов гамма и тета, характеризующих эту позицию. Вычислите еженедельное изменение стоимости портфеля и проверьте справедливость j формулы (15.6). (Подсказка: программа DenvaGem вычисляет величину j коэффициента тета в расчете на календарные дни, а в формуле (15.6) ко- j эффициент тета указан в расчете на год.)
|