Как указано в главе 8, паритет опционов "колл" и "пут" представляет собой удобный инструмент анализа улыбок волатильности. Напомним, что между ценами европейских опционов "колл" с и "пут" р существует следующая зависимость.
(16.1)
Опционы "колл" и "пут" имеют одинаковые цены исполнения К и срок действия Т. Переменная S0 представляет собой текущую стоимость актива, r – безрисковая процентная ставка на период Т, a q – доходность актива.
Главной особенностью паритета опционов "колл" и "пут" является то, что он основан на относительно простом предположении об отсутствии арбитражных возможностей. При его доказательстве не использованы никакие предположения о будущем распределении цен актива. Иначе говоря, это соотношение остается истинным, и когда цены актива имеют логнормальное распределение, и когда они имеют другое распределение.
Обозначим через PBS И CBS цены европейских опционов "пут" и "колл", вычисленные с помощью модели Блэка-Шоулза при конкретном значении волатильности, a pmkt и cmkt – рыночные цены этих опционов. Поскольку модель Блэка-Шоулза основана на паритете европейских опционов "колл" и "пут", должно выполняться следующее равенство.
Поскольку это условие распространяется и на рыночные цены, имеем
Вычитая второе равенство из первого, получаем, что
(16.2)
Отсюда следует, что ошибки модели Блэка-Шоулза при оценке европейских опционов "пут" и "колл", имеющих одинаковые цены исполнения и срок действия, равны между собой.
Допустим, что подразумеваемая волатильность стоимости опциона "пут" равна 22%. Это значит, что если в модели Блэка-Шоулза используется волатильность, равная 22%, то PBS = pmkt. Из равенства (16.2) следует, что при этих условиях CBS = cmkt. Таким образом, подразумеваемая волатильность цены опциона "колл" также равна 22%. Этот аргумент показывает, что подразумеваемая волатильность европейского опциона "колл" всегда совпадает с подразумеваемой волатильностью европейского опциона "пут", если их цены исполнения и сроки действия одинаковы.
Существует и другой способ доказательства этого утверждения. Он использует тот факт, что при одинаковых ценах исполнения и сроках действия опционов правильное значение волатильности, которое необходимо в модели Блэка-Шоулза для оценки европейского опциона "колл", всегда должно совпадать с волатильностью, на основе которой производится оценка европейского опциона "пут".
Для американского опциона это утверждение носит приближенный характер. Таким образом, зависимости между подразумеваемой волатильностью и ценой исполнения, а также между подразумеваемой волатильностью и сроком действия одинаково справедливы как для опционов "колл", так и для опционов "пут".
|