Деривативы, зависящие от нескольких рыночных переменных
Рассмотрим ситуацию, в которой размер выигрыша по деривативу зависит от
Здесь εi – случайное число из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение. Коэффициент корреляции между случайными величинами εi и εk равен pik, где 1 ≤ i, k ≤ п. Один сеанс моделирования заключается в извлечении N выборочных значений чисел εi, 1 ≤ i ≤ п, из генеральной совокупности, имеющей многомерное стандартизованное нормальное распределение. Подставив их в уравнение (17.18), можно смоделировать траекторию каждой из переменных θi и вычислить выборочную стоимость дериватива.
Генерирование случайных нормально распределенных чисел
В большинстве языков программирования предусмотрены встроенные функции, генерирующие случайные числа, равномерно распределенные в интервале от нуля до единицы. Приближенное выборочное значение из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно вычислить по следующей формуле.
(17.19)
Здесь Ri, 1 ≤ i ≤ 12 – независимые случайные числа, лежащие в диапазоне от нуля до единицы, а ε – требуемое выборочное значение из генеральной совокупности с распределением ф(0,1). В большинстве случаев этой приближенной формулы вполне достаточно. Кроме того, для генерирования случайных нормально распределенных чисел можно использовать формулу =НОРМСТОБР(СЛЧИС()), упомянутую во врезке "Пример из деловой практики 17.2".
Если необходимо сгенерировать два коррелированных выборочных значения ε1 и ε2 из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно воспользоваться следующей процедурой. Сначала необходимо сгенерировать два выборочных значения х1 и х2 из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением, как показано выше. После этого искомые значения ε1 И ε2 вычисляются по следующим формулам.
Здесь p – коэффициент корреляции.
Рассмотрим более общую ситуацию, в которой требуется сгенерировать п коррелированных выборочных значений из генеральной совокупности с нормальным распределением, так чтобы коэффициент корреляции между i-м и j-м выборочными значениями был равен pij. Сначала необходимо сгенерировать п выборочных значений xi 1 ≤ i ≤ п, из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением. После этого искомые значения εi 1 ≤ i ≤ п, вычисляются по следующим формулам
и т.д.
Для того чтобы величины е« имели правильную дисперсию и корреляцию с переменными εj, при 1 ≤ j < i необходимо выполнить пошаговую процедуру.
|