|
Рассмотрим переменную, подчиняющуюся марковскому стохастическому процессу. Предположим, что ее текущее значение равно 10, а изменение в течение года описывается функцией φ(0, 1), где φ(μ, σ) – нормальное распределение вероятностей с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ. Какое распределение вероятностей описывает изменение этой переменной в течение двух лет?
Изменение переменной через два года описывается суммой двух нормальных распределений с нулевыми математическими ожиданиями и единичными стандартными отклонениями. Поскольку переменная является марковской, эти распределения не зависят друг от друга. Складывая два независимых нормальных распределения, мы получим нормальное распределение, математическое ожидание которого равно сумме математических ожиданий каждого из слагаемых, а дисперсия – сумме их дисперсий.2 Таким образом, математическое ожидание изменений рассматриваемой переменной на протяжении двух лет равно нулю, а дисперсия – 2,0. Следовательно, изменение значения переменной через два года является случайной величиной с распределением вероятностей φ (0, √2).
Рассмотрим далее изменение переменной за шесть месяцев. Дисперсия изменений этой переменной в течение одного года равна сумме дисперсий этих изменений на протяжении первых и вторых шести месяцев. Предположим, что эти дисперсии одинаковы. Тогда дисперсия изменений переменной на протяжении шести месяцев равна 0,5, а стандартное отклонение – √0,5. Следовательно, распределение вероятностей изменения переменной на протяжении шести месяцев равно φ (0, √0,5).
Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что изменение переменной на протяжении трех месяцев имеет распределение φ(0, √0,25). Вообще говоря, изменение переменной на протяжении временного периода, имеющего длину Т, описывается распределением вероятностей φ(0, √T). В частности, изменение переменной за очень короткий промежуток времени, имеющий длину ΔT, описывается распределением вероятностей φ(0, √ΔT).
Квадратные корни в этих выражениях могут показаться странными. Они возникают из-за того, что при анализе марковского процесса дисперсии изменений переменной в последовательные моменты времени складываются, а стандартные отклонения – нет. В нашем примере дисперсия изменений переменной в течение одного года равна 1,0, поэтому дисперсия изменений этой переменной в течение двух лет равна 2,0, а через три года – 3,0.
В то же время стандартные отклонения изменений переменных через два и три года равны √2 и √3соответственно. Строго говоря, мы не должны говорить, что стандартное отклонение изменений переменной за один год равно 1,0 в год. Следует говорить, что оно равно "корню квадратному из единицы в год". Это объясняет, почему величину неопределенности часто считают пропорциональной квадратному корню из времени.
|
