Предположим, что значение z случайной переменной, подчиняющейся винеровскому процессу, в первоначальный момент времени равно 25, а время измеряется годами. В конце первого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным 1,0. В конце пятого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным √5, т.е. 2,236. Неопределенность значения переменной в определенный момент в будущем, измеренная его стандартным отклонением, возрастает как квадратный корень из длины прогнозируемого интервала.
В математическом анализе широко используется переход к пределу, когда величина малых изменений стремится к нулю. Например, при Δt → 0 величина Δx = aΔt превращается в величину dx = adt. При анализе стохастических процессов используются аналогичные обозначения. Например, при Δt → 0 описанный выше процесс Δz стремится к винеровскому процессу dz.
На рис. 12.1 показано, как изменяется траектория переменной z при Δt → 0. Обратите внимание на то, что этот график является "зазубренным". Это объясняется тем, что изменение переменной z за время Δt пропорционально величине √Δt а когда величина Δt становится малой, число √Δt намного больше, чем Δt.
Благодаря этому, винеровский процесс обладает двумя интригующими свойствами.
1. Ожидаемая длина траектории, которую проходит переменная z в течение любого промежутка времени, является бесконечной.
2. Ожидаемое количество совпадений переменной z с любым конкретным значением на любом промежутке времени является бесконечным.
|