Обобщенный винеровский процесс

Скоростью дрейфа (drift rate), или коэффициентом сноса, стохастического процесса называется средняя величина изменения переменной величины за единицу времени, а дисперсией (variance rate), или коэффициентом диффузии – величина колебаний за единицу времени. Скорость дрейфа основного винеровского процесса dz, рассмотренного выше, равна нулю, а дисперсия равна 1,0.

Нулевой дрейф означает, что ожидаемое значение переменной z в любой момент времени равно ее текущему значению. Единичная дисперсия процесса означает, что дисперсия изменения переменной z на интервале времени T равна его длине.

Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process) для переменной х можно определить через величину dz следующим образом.

(12.3)

где а и b – константы.

Чтобы понять смысл уравнения (12.3), полезно рассмотреть два слагаемых в правой части по отдельности. Слагаемое a dt означает, что ожидаемая скорость дрейфа переменной х равна а единиц в единицу времени. Без второго члена уравнение (12.3) превращается в уравнение

откуда следует, что

Интегрируя это уравнение по времени, получаем

где X₀ – значение переменной х в нулевой момент времени. Таким образом, за период времени Г переменная х увеличивается на величину at. Член b dz можно рассматривать как шум, или изменчивость траектории, которую проходит переменная х. Величина этого шума в b раз больше значения винеровского процесса. Стандартное отклонение винеровского процесса равно 1,0. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины b dz равно b. На небольших промежутках времени Δt изменение Δх переменной х определяется уравнениями (12.1) и (12.3).

где ε, как и прежде, – случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение. Итак, величина Δх имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно aΔt, стандартное отклонение – b√Δt, а дисперсия – b²Δt.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что изменение переменной х в течение произвольного интервала времени Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием аТ, стандартным отклонением b√T и дисперсией b²Т. Таким образом, ожидаемая скорость дрейфа обобщенного винеровского процесса (12.3) (т.е. среднее изменение дрейфа в единицу времени) равна а, а дисперсия (т.е. дисперсия переменной за единицу времени) – b². Этот процесс изображен на рис. 12.2. Проиллюстрируем скачанное следующим примером.