12.6 Свойство логнормальности

Применим лемму Ито для вывода процесса, описывающего изменение величины In S, когда S подчиняется процессу (12.13). Введем функцию

Поскольку

из равенства (12.14) следует, что процесс, описывающий поведение функции G, имеет следующий вид.

(12.17)

Поскольку параметры μ и σ являются постоянными, из этого уравнения следует, что функция G = In S подчиняется обобщенному винеровскому процессу. Он имеет постоянную скорость дрейфа

и постоянную дисперсию

Следовательно, изменение функции In S на интервале времени от нуля до момента Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

и дисперсией

Отсюда следует, что

(12.18)

т.е.

(12.19)

где S_Е – цена акции в момент Т, S₀ – цена акции в нулевой момент, а φ(т, s) – нормальное распределение с математическим ожиданием т и стандартным отклонением s.

Уравнение (12.19) показывает, что функция In S_T является нормально распределенной. Говорят, что переменная имеет логнормальное распределение, если ее натуральный логарифм имеет нормальное распределение. Итак, разработанная нами модель означает, что цена акции в момент Г имеет логнормальное распределение. Стандартное отклонение логарифма цены акции равно σ √T. Как всегда, оно пропорционально квадратному корню из длины расчетного периода времени.