|
Аппроксимация Блэка
Блэк предположил процедуру аппроксимации, позволяющую учесть досрочное исполнение опционов "колл". На первом этапе этой вычислительной процедуры вычисляется стоимость двух европейских опционов, сроки действия которых истекают в моменты Т и tn. На втором этапе стоимость американского опциона приравнивается к стоимости более дорогого европейского опциона. Оказалось, что в большинстве случаев эта аппроксимация работает хорошо.
Пример 13.9
Рассмотрим ситуацию, описанную в примере 13.8, но теперь будем считать, что опцион является не европейским, а американским. Кроме того, предположим, что
Поскольку число
больше 0,5, из неравенства (13.26) следует, что этот опцион никогда не следует исполнять непосредственно перед первой датой "без дивиденда". Кроме того, поскольку число
меньше 0,5, то из неравенства (13.25) следует, что если этот опцион приносит большую прибыль, его следует исполнить непосредственно перед наступлением второй даты "без дивиденда".
Применим для вычисления стоимости опциона аппроксимацию Блэка. Текущая стоимость первого дивиденда равна
В соответствии с процедурой аппроксимации Блэка, мы должны сравнить стоимость этого опциона со стоимостью опциона, который исполняется только по истечении шести месяцев. Из примера 13.8 мы знаем, что она равна 3,67 долл. Выбирая большую из этих двух величин, получаем, что стоимость американского опциона "колл" равна 3,67 долл.
Стоимость этого опциона, вычисленная программой DerivaGem с помощью процедуры Binomial American, равна 3,72 долл. Различие между этими ответами, полученными в рамках биномиальной модели (ВМ) и с помощью аппроксимации Блэка (ВА), объясняется двумя причинами. Первая причина заключается в определении моментов досрочного исполнения опциона, а вторая связана с волатильностью. Определение моментов досрочного исполнения завышает оценку, полученную в рамках биномиальной модели, по сравнению с аппроксимацией Блэка.
В аппроксимации ВА используется предположение, что владелец опциона сегодня решает, когда ему исполнить опцион: через пять или шесть месяцев. Биномиальная модель позволяет инвестору принять решение о досрочном исполнении опциона через пять месяцев, ориентируясь на цену акции.
Способ оценки волатильности, принятый в биномиальной модели, завышает оценку опциона с помощью аппроксимации Блэка по сравнению с биномиальной моделью. Если мы предполагаем, что инвестор досрочно исполняет опцион через пять месяцев, то в процедуре аппроксимации Блэка волатильность применяется к цене акции, из которой вычтена стоимость первого дивиденда. Если же мы предполагаем, что инвестор исполняет опцион через шесть месяцев, то волатильность применяется к цене акции, из которой вычтена сумма двух дивидендов.
|
