Упражнения

13.26. Предположим, что текущая цена акции равна 50 долл., ее ожидаемая доходность равна 18%, а волатильность доходности – 30%. Какое распределение будет иметь цена акции через два года? Вычислите математическое ожидание и стандартное отклонение этого распределения. Постройте 95%-ные доверительные интервалы для этих параметров.

13.27. Ниже представлены значения цены акции (в долл.), зафиксированные в конце 15 последовательных недель.

Оцените волатильность цены акции. Чему равно стандартное отклонение вашей оценки?

13.28. Финансовая организация планирует выпустить ценную бумагу, которая за время Т должна принести инвестору S²_T долл.

1) Используя риск-нейтральный подход, вычислите стоимость ценной бумаги в момент t через цену акции S в этот же момент времени. (Подсказка: математическое ожидание величины S²_T можно вычислить через математическое ожидание и дисперсию цены акции S_T, приведенные в разделе 13.1.)

2) Покажите, что полученный ответ удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16).

13.29. Рассмотрим четырехмесячный опцион на бездивидендную акцию, предполагая, что цена акции равна 30 долл., цена исполнения опциона – 29 долл., безрисковая процентная ставка – 5%, а волатильность – 25%.

1) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом "колл"?

2) Чему равна цена этого опциона, если он является американским опционом "колл"?

3) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом "пут"?

4) Проверьте выполнение паритета опционов "колл" и "пут".

13.30. Предположим, что опцион, описанный в задаче 13.29, предусматривает выплату дивидендов через l¹/2 месяца в размере 50 центов.

1) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом "колл"?

2) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом "пут"?

3) Чему равна цена этого опциона, если он является американским опционом "колл"? Укажите, при каких условиях целесообразно его досрочное исполнение.

13.31. Рассмотрим шестимесячный американский опцион "колл", предполагая, что цена акции равна 18 долл., цена исполнения опциона – 20 долл., безрисковая процентная ставка – 10%, а волатильность – 30%. Через два и пять месяцев ожидаются две выплаты дивидендов в размере 40 центов. Вычислите стоимость этого опциона, используя аппроксимацию Блэка и программу DerivaGem. Насколько высокими могли бы быть дивидендные выплаты, если бы американский опцион не стоил дороже европейского?