Дифференциальное уравнение
Чтобы доказать, что фьючерсная цена эквивалентна акции с известной дивидендной доходностью q, можно вывести дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению для цены бездивидендной акции из раздела 13.6.
(14.16)
После замены величины q величиной r это уравнение совпадает с уравнением (14.6). Этот факт подтверждает, что при оценке деривативов фьючерсную цену можно вычислять точно так же, как и цену акции с дивидендной доходностью r.
14.8 Модель Блэка для оценки фьючерсных опционов
Изложенные результаты можно применить для оценки европейских фьючерсных опционов. Фишер Блэк впервые доказал это в своей работе, опубликованной в 1976 году. Предположение, лежащее в основе этой работы, заключается в том, что фьючерсные цены, как и цены акций (см. главу 13), имеют логнормальное распределение. Цены европейских опционов на покупку и продажу фьючерсного опциона определяются по формулам (14.4) и (14.5), в которых величина S0 заменена величиной F0 И q = r.
(14.17)
(14.18)
где
а σ – волатильность фьючерсной цены. Если затраты на поддержание инвестиционной позиции (cost of carry) и удобная доходность (convenient yield) зависят только от времени, можно показать, что волатильность фьючерсной цены равна волатильности базового актива. Обратите внимание на то, что в модели Блэка не требуется, чтобы опционный и фьючерсный контракты истекали в одно и то же время.
|