Проведенный выше анализ показывает, что применение "улыбки волатильности" при оценке валютных опционов в сочетании с логнормальным распределением приводит к недооценке вероятности экстремальных изменений валютного курса. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ежедневные колебания двенадцати валютных курсов в течение десятидневного периода.
Для начала мы вычислили стандартное отклонение ежедневных относительных изменений каждого из валютных курсов. Затем мы отметили, как часто фактическое относительное изменение превышало одно стандартное отклонение, два стандартных отклонения и т.д.
В заключение, мы определили, как часто относительные изменения имели нормальное распределение. (Из логнормальной модели следует, что относительные изменения на протяжении одного дня должны иметь распределение, очень близкое к нормальному.) Результаты приведены в табл. 16.1.
Доля дней, в течение которых изменения валютного курса превышали три стандартных отклонения, равна 1,34%. В соответствии с логнормальной моделью, доля таких дней должна быть равной 0,27%. Доли дней, в течение которых изменения валютного курса превышали четыре, пять и шесть стандартных отклонений, равны 0,29%, 0,08% и 0,03% соответственно.
В соответствии с логнормальной моделью, таких дней вообще не должно быть. Таким образом, эта таблица является явным доказательством существования тяжелых хвостов распределения и "улыбки волатильности".
|