Цена европейского опциона на покупку актива с ценой исполнения К1 и сроком действия Т равна
где r – безрисковая процентная ставка (считающаяся постоянной), ST – цена актива в момент Т, а g – риск-нейтральная плотность вероятности цены актива ST.
Дифференцируя это выражение по переменной К, получаем
Повторно дифференцируя его по переменной К, приходим к выводу, что
Отсюда следует, что плотность вероятности g вычисляется так.
Этот результат, полученный Брееденом (Breeden) и Литценбергом (Litzenbergen) (1978), позволяет оценить риск-нейтральные распределения вероятностей на основе "улыбок волатильности". Допустим, что с2 c1 и c3 – цены европейских опционов "колл" со сроком действия Т и ценами исполнения К – δ, К и К + δ соответственно.
Предполагая, что величина δ мала, получаем следующую оценку плотности вероятности g.
|