17.5 Параметры, зависящие от времени

До сих пор мы предполагали, что параметры r, q, r_f и σ являются постоянными. Однако на практике они обычно зависят от времени. Таким образом, следует считать, что между моментами времени t и t + Δt эти переменные равны их форвардным значениям.

Параметры r и q (или r_f) в биномиальном дереве Кокса-Росса-Рубинштейна можно представить в виде функций, зависящих от времени.

Это условие можно учесть, представив параметр a в узлах, соответствующих моментам t, в следующем виде.

(17.11)

Здесь f(t) – форвардная ставка, установленная на период между моментами t и t + Δt, a g(t) – форвардное значение дивидендной доходности q на этом промежутке времени. Это условие никак не влияет на геометрию биномиального дерева, поскольку величины и и d не зависят от параметра а. Вероятности перехода по ветвям дерева, исходящим из узла, соответствующего моменту t, равны

(17.12)

Остальная часть анализа ничем не отличается от предыдущих примеров, за исключением того обстоятельства, что для вычисления дисконта на отрезке между моментами времени t и t + Δt теперь используется функция f(t).

Зависимость параметра σ от времени в биномиальном дереве учесть намного сложнее. Например, для того чтобы решить эту задачу, можно сделать величину временных шагов обратно пропорциональной дисперсии (variance rate). В таком случае величины и и d всегда остаются постоянными, а дерево рекомбинирует.

При работе с триномиальным деревом для учета процентных ставок и значений волатильности, зависящих от времени, можно использовать обобщенную процедуру построения дерева. (Описание этой процедуры изложено на Web-сайте автора в техническом замечании 9.)