Деривативы, зависящие от нескольких рыночных переменных. Генерирование случайных нормально распределенных чисел

Деривативы, зависящие от нескольких рыночных переменных

Рассмотрим ситуацию, в которой размер выигрыша по деривативу зависит от

Здесь ε_i – случайное число из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение. Коэффициент корреляции между случайными величинами ε_i и ε_k равен p_ik, где 1 ≤ i, k ≤ п. Один сеанс моделирования заключается в извлечении N выборочных значений чисел ε_i, 1 ≤ i ≤ п, из генеральной совокупности, имеющей многомерное стандартизованное нормальное распределение. Подставив их в уравнение (17.18), можно смоделировать траекторию каждой из переменных θ_i и вычислить выборочную стоимость дериватива.

Генерирование случайных нормально распределенных чисел

В большинстве языков программирования предусмотрены встроенные функции, генерирующие случайные числа, равномерно распределенные в интервале от нуля до единицы. Приближенное выборочное значение из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно вычислить по следующей формуле.

(17.19)

Здесь R_i, 1 ≤ i ≤ 12 – независимые случайные числа, лежащие в диапазоне от нуля до единицы, а ε – требуемое выборочное значение из генеральной совокупности с распределением ф(0,1). В большинстве случаев этой приближенной формулы вполне достаточно. Кроме того, для генерирования случайных нормально распределенных чисел можно использовать формулу =НОРМСТОБР(СЛЧИС()), упомянутую во врезке "Пример из деловой практики 17.2".

Если необходимо сгенерировать два коррелированных выборочных значения ε₁ и ε₂ из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно воспользоваться следующей процедурой. Сначала необходимо сгенерировать два выборочных значения х₁ и х₂ из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением, как показано выше. После этого искомые значения ε₁ И ε₂ вычисляются по следующим формулам.

Здесь p – коэффициент корреляции.

Рассмотрим более общую ситуацию, в которой требуется сгенерировать п коррелированных выборочных значений из генеральной совокупности с нормальным распределением, так чтобы коэффициент корреляции между i-м и j-м выборочными значениями был равен p_ij. Сначала необходимо сгенерировать п выборочных значений x_i 1 ≤ i ≤ п, из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением. После этого искомые значения ε_i 1 ≤ i ≤ п, вычисляются по следующим формулам

и т.д.

Для того чтобы величины е« имели правильную дисперсию и корреляцию с переменными ε_j, при 1 ≤ j < i необходимо выполнить пошаговую процедуру.