18.4 Линейная модель

Рассмотренные примеры являются простыми иллюстрациями применения линейной модели для вычисления показателя VaR. Допустим, что портфель стоимостью Р состоит из п пакетов акций г-го вида на сумму α_i долл. каждый (1 ≤ i ≤ п). Обозначим ежедневную доходность i-го актива через

Тогда изменение стоимости инвестиций в i-й актив за один день равно

и

(18.1)

где ΔР – изменение стоимости всего инвестиционного портфеля за один день.

В рассмотренном выше примере в акции компании Microsoft было вложено 10 млн долл., а в акции компании AT&T – 5 млн долл. Следовательно, α₁ = 10, α₂ = 5 и ΔР = 10Δx₁ + 5Δx₂.

Если вероятные значения переменных Δх_i имеют многомерное нормальное распределение, то переменная ДР имеет нормальное распределение. Следовательно, чтобы вычислить показатель VaR, необходимо найти математическое ожидание и стандартное отклонение переменной ΔР. Как указано в предыдущем разделе, можно предположить, что математическое ожидание каждой переменной Δх_i равно нулю. Отсюда следует, что математическое ожидание переменной ΔР также равно нулю.

Чтобы вычислить стандартное отклонение переменной ΔР, обозначим через σ_i суточную волатильность i-го актива, а через p_ij – коэффициент корреляции между значениями доходности г-го и j-ro активов. Следовательно, величина σ_i, представляет собой стандартное отклонение переменной Δx_i, а p_ij – коэффициент корреляции между величинами Δx_i и Δx_j. Дисперсия σsup>2_P переменной ΔР вычисляется по следующей формуле

Это выражение можно переписать в следующем виде.

(18.2)

Стандартное отклонение изменения стоимости портфеля за N дней равно

а N-дневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен

В рассмотренном выше примере σ₁ = 0,02, σ₂ = 0,01 и p₁₂ = 0,3. Как было указано выше, α₁ = 10 и α₂ = 5. Следовательно,

и σ_P = 0,220. Эта величина представляет собой стандартное отклонение изменения стоимости портфеля за один день (млн долл.). Десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 2,33 х 0,220 х √10 = 1,623 млн долл. Это согласуется с вычислениями, проведенными в предыдущей главе.