19.3. Модель GARCH(1,1). 19.4. Сравнительный анализ моделей

19.3. Модель GARCH(1,1)

Перейдем к анализу модели GARCH(1,1), предложенной Боллерслевом (Воllerslev) в 1986 году. Разница между моделями GARCH(1,1) и EWMA аналогична разнице между формулами (19.4) и (19.5). В модели GARCH(1,1) величина σ²_n вычисляется с учетом долговременной средней дисперсии V_L, а также значений σ_n-1 и u_n-1. Формула, лежащая в основе модели GARCH(1,1), имеет вид

где γ, α и β – веса, приписанные величинам V_L, U²_N-1 и σ²_n-1 соответственно. Поскольку сумма всех весов должна быть равной единице,

Модель EWMA является частным случаем модели GARCH(1,1), в которой γ = 0, α = 1 – λ и β = λ.

Цифры (1,1) в названии модели GARCH(1,1) означают, что при вычислении дисперсии σ²_n учитываются самое последнее значение u² и самая последняя оценка дисперсии. Более общая модель GARCH(p, q) основана на формуле, в которой величина определяется по последним р наблюдениям показателя u² и последним q оценкам дисперсии. Однако следует подчеркнуть, что модель GARCH(1,1) получила намного более широкое признание, чем остальные разновидности.

Если положить ω = γV_L, модель GARCH(1,1) можно переписать как

Именно в таком виде эта модель используется для оценки параметров. Зная величины ω, α и β, параметр γ можно вычислить как 1 – α – β. Долговременную дисперсию V_L МОЖНО вычислить как дробь ω/γ. Для устойчивости процесса GARCH(1,1) необходимо, чтобы выполнялось условие α + β < 1. В противном случае вес, приписанный долговременной дисперсии, является отрицательным.

Пример 19.2

Допустим, что модель GARCH(1,1) имеет следующий вид.

Следовательно, α = 0,13, β = 0,86 и ω = 0,000002. Из условия γ = 1 – α – β следует, что γ = 0,01. Кроме того, поскольку ω = γV_L, ТО V_L = 0,0002. Иначе говоря, долговременная средняя суточная дисперсия, оцененная с помощью модели GARCH(1,1), равна 0,0002. Ей соответствует волатильность, равная √0,0002 = 0,014, т.е. 1,4% в день.

Допустим, что оценка волатильности в (n-1) й день равна 1,6%, так что σ²_n-1 = 0,016² = 0,000256. Кроме того, предположим, что в этот день рыночный показатель уменьшился на 1%, так что u²_n-1 = 0,01² = 0,0001. Тогда

σ²_n = 0,000002 + 0,13 x 0,0001 + 0,86 x 0,000256 = 0,00023516.

Следовательно, новая оценка волатильности равна √0,00023516 = 0,0153, т.е. 1,53% в день.

Веса

Подставляя выражение для вычисления величины σ²_n-1 в формулу (19.9), получаем следующее уравнение.

т.е.

Подставляя в это выражение формулу для вычисления величины σ²_n-2, получим равенство

Продолжая в том же духе, придем к выводу, что вес величины u²_n-i равен αβ^i-1. Вес в этой формуле уменьшается со скоростью β, которую можно интерпретировать как “скорость распада” (“decay rate”). Этот показатель аналогичен параметру λ в модели EWMA. Он определяет относительную важность наблюдения показателя и при вычислении текущего значения дисперсии. Например, если β = 0,9, то значимость величины u²_n-2 составляет только 90% значимости величины u²_n-3. В свою очередь, значимость величины u²_n-3 составляет только 81% значимости величины u²_n-1 и т.д. Модель GARCH(1,1), в целом, аналогична модели EWMA, за исключением того факта, что веса в ней приписываются не только квадратам наблюдаемых значений, но и долговременной средней волатильности.

Возвращение к среднему значению

Модель GARCH(1,1) учитывает тот факт, что с течением времени дисперсия стремится вернуться к долговременному среднему уровню V_L. Вес, приписанный этой величине, равен λ = 1 – α – β. Модель GARCH(1,1) эквивалентна модели, в которой дисперсия V подчиняется стохастическому процессу

где время измеряется днями, а = 1 – α – β и ξ = α√2 (см. задачу 19.14). Эта модель называется моделью возвращения к среднему значению. Дисперсия в ней имеет дрейф, который сносит ее назад к значению V_L СО скоростью а. Если V > V_L, ТО дисперсия имеет отрицательный дрейф, а если V < V_L, ТО положительный. Наложенный дрейф равен волатильности ξ. Этот вид моделей обсуждается в главе 24.

19.4. Сравнительный анализ моделей

На практике значения дисперсии действительно стремятся вернуться к среднему значению. Модель GARCH(1,1) включает в себя этот эффект, а модель EWMA – нет. Следовательно, с теоретической точки зрения, модель GARCH(1,1) более привлекательна, чем модель EWMA.

В следующем разделе мы обсудим способы вычисления оптимальных параметров ω, α и β в модели GARCH(1,1). Если параметр ω равен нулю, модель GARCH(1,1) совпадает с моделью EWMA. Если же оптимальное значение ω оказывается отрицательным, то модель GARCH(1,1) становится неустойчивой, и в таких ситуациях необходимо переключаться на модель EWMA.