19.7. Корреляция

До сих пор обсуждение концентрировалось на оценках и предсказании волатильности. Однако, как указано в главе 18, при оценке показателя VaR не менее важную роль играет коэффициент корреляции. Рассмотрим процесс вычисления оценки коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции между случайными переменными X и У называется величина

где σ_X и σ_Y – стандартные отклонения переменных X и Y, a cov(X, Y) – ковариация между ними. Ковариация между переменными X и Y определяется по формуле

где μ_X и μ_Y – средние значения переменных, а Е – математическое ожидание. Несмотря на то что коэффициент корреляции имеет более простую интерпретацию, чем ковариация, именно последняя величина будет играть ключевую роль в последующем анализе.

Обозначим через x_i и y_i относительные изменения переменных X и Y, зарегистрированные в промежутке между концом (i – 1)-го дня и концом i-го дня.

Здесь X_i и Y_i – значения переменных X и Y, зафиксированные в конце i-го дня. Кроме того, введем следующие обозначения.

σ_x,n: суточная волатильность переменной X, вычисленная для n-го дня;

σ_y,n: суточная волатильность переменной Y, вычисленная для n-го дня;

cov_n: оценка ковариации между суточными изменениями переменных X и Y, вычисленная для n-го дня.

Оценка корреляции между переменными X и Y в n-й день имеет следующий вид.

Используя схему с одинаковыми весами, предполагая, что средние значения переменных x_i и y_i равны нулю, и применяя формулу (19.3), можно получить следующие оценки дисперсии переменных X и У на основе последних m наблюдений.

Аналогичная оценка ковариации между переменными X и Y имеет следующий вид.

Альтернативную оценку можно получить, используя модель EWMA. В этом случае оценка ковариации вычисляется по такой формуле.

Проводя анализ на основе модели EWMA, легко доказать, что веса, приписанные значениям x_i и y_i, с течением времени убывают. Чем меньше значение λ, тем больше вес, приписанный недавним наблюдениям.

Пример 19.3

Предположим, что параметр λ равен 0,95, а оценка корреляции между переменными X и Y в (n – 1)-й день равна 0,6. Допустим также, что оценки волатильности переменных X и Y в (n – 1)-й день равны 1% и 2% соответственно. Из зависимости между корреляцией и ковариацией следует, что ковариация между переменными X и Y в (n – 1)-й день равна

0,6 х 0,01 х 0,02 = 0,00012.

Допустим, что относительные изменения переменных X и Y в (n – 1)-й день равны 0,5% и 2,5% соответственно. Дисперсия и ковариация в n-й день равны следующим величинам.

Новые значения волатильности переменных X и Y равны √0,00009625 = 0,981% и √0,00041125 = 2,028% соответственно. Новый коэффициент корреляции между переменными X и Y равен

Для уточнения оценок ковариации и предсказания ее будущих значений можно использовать также модель GARCH(1,1). Например, формула для вычисления ковариации по модели GARCH(1,1) имеет вид

а долговременная средняя дисперсия равна ω/(1 – α – β). Для предсказания будущих значений ковариации и вычисления средней ковариации на протяжении всего срока действия опционов можно вывести формулы, аналогичные формулам (19.13) и (19.14).

Условие согласованности оценок ковариации

Вычислив все значения дисперсии и ковариации, можно сформировать матрицу дисперсий и ковариаций (variance-covariance matrix). При i ≠ j элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, представляет собой ковариацию между i-й и j-й переменными. На диагонали матрицы стоят дисперсии переменных.

Не все матрицы дисперсий и ковариаций являются внутренне непротиворечивыми. Для того чтобы матрица дисперсий и ковариации Ω обладала этим свойством, необходимо, чтобы выполнялось условие

для всех векторов w размерности N x 1, где w^T – транспонированный вектор w. Такие матрицы называются неотрицательно определенными (positive semidefinite).

Чтобы понять необходимость условия (19.17), допустим, что вектор го имеет следующий вид.

Число w^TΩw представляет собой дисперсию портфеля, состоящего из значений w_i рыночных показателей (i = 1, 2, ..., n). Следовательно, это число должно быть неотрицательным.

Чтобы матрица дисперсий и ковариаций была неотрицательно определенной, необходимо, чтобы дисперсии и ковариации вычислялись согласованно. Например, если бы дисперсии вычислялись по модели, в которой всем последним т наблюдениям были бы приписаны одинаковые веса, то точно так же должны были бы вычисляться и значения ковариации. Если дисперсии вычисляются по модели EWMA с λ = 0,94, то и ковариация должна вычисляться с таким же параметром.

Примером матрицы дисперсий и ковариаций, являющейся внутренне противоречивой, является матрица

Дисперсия каждой переменной равна 1,0. Следовательно, все ковариации должны быть равны коэффициенту корреляции. Первая и вторая переменные сильно коррелируют с третьей переменной.

Однако между первой и второй переменными корреляции нет совсем. Это странно! Если выбрать вектор w в виде (1, 1, –1), окажется, что условие (19.17) не выполняется и матрица не является неотрицательно определенной.