19.1. Опишите модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) для оценки волатильности ретроспективных данных.
19.2. В чем заключается разница между моделью экспоненциально взвешенного скользящего среднего и моделью GARCH(1,1) при оценке волатильности?
19.3. Предположим, что последняя оценка волатильности актива равна 1,5%, а цена актива на момент закрытия вчерашних торгов равна 30,00 долл. Параметр Л в модели EWMA равен 0,94. Допустим, что цена актива в момент закрытия торгов сегодня оказалась равной 30,50 долл. Как это повлияет на волатильность, вычисленную по модели EWMA?
19.4. Для предсказания волатильности компания использует модель EWMA. Она решила изменить параметр λ и установить его равным не 0,95, а 0,85. Как это повлияет на точность прогнозов?
19.5. Волатильность определенного рыночного показателя равна 30% в год. Постройте 99%-ный доверительный интервал для уровня относительных изменений этого показателя.
19.6. Для предсказания волатильности компания использует модель GARCH(1,1), в которую входят три параметра: ω, α и β. Как повлияет на точность оценок небольшое изменение каждого из этих параметров при условии, что остальные параметры модели остаются неизменными?
19.7. Предположим, что последняя оценка волатильности обменного курса доллар США-фунт стерлингов равна 0,6%, а валютный курс по состоянию на 16:00 вчерашнего дня был равен 1,5000 долл. Параметр А в модели EWMA равен 0,9. Допустим, что сегодня валютный курс по состоянию на 16:00 был равен 1,4950 долл. Как это повлияет на волатильность, вычисленную по модели EWMA?
19.8. Предположим, что в момент закрытия вчерашних торгов фондовый индекс S&P 500 был равен 1 040, а суточная волатильность индекса равна 1%. Параметры модели GARCH(1,1) равны ω = 0,000002, α = 0,06 и β = 0,92. Чему равна новая оценка волатильности, если в момент закрытия сегодняшних торгов фондовый индекс был равен 1 060.
19.9. Допустим, что текущие значения суточной волатильности активов А и В равны 1,6 и 2,5% соответственно. Цены этих активов, зафиксированные в момент закрытия вчерашних торгов, равны 20 и 40 долл. Оценка коэффициента корреляции между значениями доходности обоих активов равна 0,25. Параметр Л, используемый в модели EWMA, равен 0,95.
1) Вычислите текущую оценку ковариации между активами.
2) Предположим, что цены активов в момент закрытия сегодняшних торгов равны 20,5 и 40,5% соответственно. Вычислите новую оценку корреляции.
19.10. Параметры модели GARCH(1,1) равны ω = 0,000004, α = 0,05 и β = 0,92. Чему равна долговременная средняя волатильность и какое уравнение описывает возвращение дисперсии к долговременной средней дисперсии? Предположим, что текущее значение волатильности равно 20% в год. Чему равно значение волатильности, ожидаемое через 20 дней?
19.11. Допустим, что текущие значения суточной волатильности активов X и Y равны 1,0 и 1,2% соответственно. Цены этих активов, зафиксированные в момент закрытия вчерашних торгов, равны 30 и 50 долл. Оценка коэффициента корреляции между значениями доходности обоих активов равна 0,50. Корреляция и волатильность вычисляются по модели GARCH(1,1). Параметры модели равны α = 0,04 и β = 0,94. Для корреляции параметр ω равен 0,000001, а для волатильности – 0,000003. Допустим, что цены обоих активов в момент закрытия сегодняшних торгов были равны 31 и 51 долл. Чему равна оценка корреляции?
19.12. Предположим, что последняя оценка суточной волатильности фондового индекса FTSE (измеренного в фунтах стерлингов) равна 1,8%, а суточная волатильность обменного курса доллар США-фунт стерлингов равна 0,9%. Допустим также, что коэффициент корреляции между индексом FTSE и обменным курсом доллар США-фунт стерлингов равен 0,4. Чему равна волатильность индекса FTSE 100 в переводе на доллары США? Будем считать, что обменный курс доллар США-фунт стерлингов измеряется количеством долларов США за один фунт стерлингов. (Подсказка: если Z = XY, то относительное изменение величины Z приближенно равно сумме относительных изменений величин X и Y.)
19.13. Допустим, что в задаче 19.12 коэффициент корреляции между индексом S&P 500 (измеренным в долларах) и индексом FTSE 100 (измеренным в фунтах стерлингов) равен 0,7, между индексом S&P 500 и обменным курсом доллар-фунт стерлингов – 0,3, а суточная волатильность индекса S&P 500 равна 1,6%. Чему равен коэффициент корреляции между индексом S&P 500 и индексом FTSE 100 в переводе на доллары? (Подсказка: ковариация между переменными X + Y и Z равна сумме ковариации между переменными X и Z и ковариации переменных Y и Z.)
19.14. Докажите, что модель GARCH(1,1)
в уравнении (19.9) эквивалентна модели стохастической волатильности
где время измеряется сутками, V – дисперсия цены актива и
Как выглядит модель стохастической волатильности, если время измеряется годами? (Подсказка: переменная un-1 представляет собой доходность актива за время Δt. Предположим, что она имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением σn-1. Отсюда следует, что математические ожидания величин u2n-1 и u4n-1 равны σ2n-1 и 3σ4n-1 соответственно.)
|