21.8. Оценка пакетных свопов кредитных дефолтов и обеспеченных долговых обязательств

Спрэд свопа n-го кредитного дефолта и транш обеспеченного долгового обязательства существенно зависят от корреляции дефолтов. Предположим, что для организации пятилетнего свопа n-го кредитного дефолта используется пакет, состоящий из 100 базовых компаний, причем для каждой компании вероятность объявить дефолт на протяжении пяти лет равна 2%. Если корреляция между дефолтами базовых компаний равна нулю, то из свойств биномиального распределения следует, что вероятность одного или нескольких дефолтов в течение пяти лет равна 86,74%, а вероятность десяти и более дефолтов – 0,0034%. Следовательно, своп первого кредитного дефолта является довольно ценным, а стоимость свопа десятого кредитного дефолта практически равна нулю.

По мере увеличения корреляции между дефолтами вероятность одного или нескольких дефолтов уменьшается, а вероятность десяти и более дефолтов увеличивается. В пределе, когда корреляция между дефолтами базовых компаний становится прямолинейной (perfect correlation), вероятность одного или нескольких дефолтов и вероятность десяти и более дефолтов становятся одинаковыми и равными 2%. Это объясняется тем, что в экстремальной ситуации все базовые компании, по существу, ничем не отличаются друг от друга. Либо все они объявят дефолт одновременно (с вероятностью 2%), либо все выживут (с вероятностью 98%).

Оценка транша обеспеченного кредитного обязательства зависит от корреляции между дефолтами примерно так же. Если корреляция слаба, то младший акционерный транш становится рискованным, а более привилегированные транши остаются вполне безопасными. По мере усиления корреляции младшие транши становятся менее рискованными, а безопасность старших траншей уменьшается. В пределе, когда корреляция между дефолтами становится прямолинейной, все транши становятся одинаково рискованными.

Использование модели гауссовых пакетов для определения времени дефолта

Однофакторная модель гауссовых пакетов для определения времени дефолта, описанная ранее, стала стандартным инструментом для оценки спрэда свопа n-го кредитного дефолта и транша обеспеченного долгового обязательства.

Рассмотрим портфель, состоящий из N базовых компаний. Из формулы (20.7) следует, что

где Q_i(T | М) – зависящая от фактора М вероятность того, что i-я базовая компания объявит дефолт до момента Т. Обозначим через Р (k, Т) вероятность того, что к моменту Т дефолт объявят более к базовых компаний, а через Р (к, Т \ М) – соответствующую вероятность, зависящую от фактора М. Если величина М является фиксированной, то дефолты не зависят друг от друга. Это позволяет нам вычислить величину Р (k, Т | М).

Стандартная рыночная модель основана на предположении, что распределения моментов дефолтов для всех базовых компаний, включенных в портфель, являются одинаковыми, а пакетная корреляция для всех пар базовых компаний остается постоянной. Это означает, что Q_i(Т | М) = Q (T | М) для всех значений i, а вместо формулы (20.7) можно использовать формулу (20.8). Следовательно,

Из свойств биномиального распределения следует, что

Вероятность того, что n-й дефолт произойдет между моментами Т_i и Т₂, зависящая от фактора М, равна Р (k, Т₂ | М) – Р (k, T₁ | М). Это позволяет построить распределение вероятных моментов n-го дефолта в зависимости от фактора М, имеющего стандартное нормальное распределение. Интегрируя распределение фактора М, получим распределение безусловных вероятностей моментов n-го дефолта. Имея это распределение, своп n-го кредитного дефолта можно оценить точно так же, как и обычный своп кредитного дефолта. Чтобы оценить транш обеспеченного долгового обязательства, необходимо вычислить размер ожидаемого выигрыша и выплат по траншам, зависящим от фактора М, а потом проинтегрировать их по М.

Дилеры, торгующие деривативами, вычисляют подразумеваемую пакетную корреляцию ρ в формуле (21.2) с помощью спрэдов свопов n-го кредитного дефолта и траншей обеспеченных долговых обязательств, котируемых на рынке. Дилеры предпочитают оценивать именно корреляцию между дефолтами, а не сами спрэды. Эта практика напоминает ситуацию, сложившуюся на рынке опционов, на котором дилеры котируют подразумеваемую волатильность Блэка-Шоулза, а не цены в долларах. Как указано во врезке “Пример из деловой практики 21.3”, на рынке обеспеченных долговых обязательств существует “улыбка корреляции”, напоминающая феномен “улыбки волатильности” на опционных рынках.

Пример из деловой практики 21.3. “Улыбки корреляции”

Дилеры, торгующие кредитными деривативами, вычисляют величину корреляции между дефолтами с помощью спрэдов по траншам. Если подразумеваемые коэффициенты корреляции для всех траншей оказываются одинаковыми, можно сделать вывод, что рыночные цены хорошо согласуются с однофакторной моделью гауссовых пакетов, используемой для определения моментов дефолтов. На практике коэффициенты подразумеваемой корреляции дефолтов среди младших (акционерных), а также среди более привилегированных траншей оказываются более высокими, чем среди траншей среднего уровня. Например, как следует из табл. 21.6, коэффициенты подразумеваемой корреляции среди пяти траншей индекса CDX IG NA (начиная с акционерного транша) равны 21,0, 4,2, 17,7, 19,0 и 27,4%. Аналогично коэффициенты подразумеваемой корреляции среди соответствующих траншей индекса iTraxx Europe равны 20,4, 5,5, 16,1, 23,3 и 31,1%.

Существование “улыбки волатильности” на опционных рынках означает, что модель Блэка-Шоулза (несмотря на ее широкую популярность) не отражает мнения участников рынка (см. главу 16). Аналогично наблюдаемый феномен “улыбки корреляции” на рынках обеспеченных долговых обязательств означает, что общепринятая однофакторная модель гауссовых пакетов также не отражает точку зрения участников рынка.