22.8. Опционы “с оглядкой назад”

Выигрыш опциона “с оглядкой назад” зависит от максимальной или минимальной цены актива, достигнутой за весь период действия опциона. Выигрыш европейского опциона “колл” с оглядкой назад равен величине, на которую окончательная цена актива превышает минимальную цену актива, зарегистрированную на протяжении срока действия опциона. Выигрыш европейского опциона “пут” с оглядкой назад равен величине, на которую максимальная цена актива, зарегистрированная на протяжении срока действия опциона, превышает окончательную цену актива.

Для вычисления стоимости европейских опционов “с оглядкой назад” предложено несколько формул. Стоимость европейского опциона “колл” с оглядкой назад в нулевой момент времени равна

a S_min – минимальная цена актива, достигнутая за период, прошедший до текущего момента. (Если оценка выполняется сразу после заключения контракта, S_min = S_0.)

Стоимость европейского опциона “пут” с оглядкой назад равна

a S_max – максимальная цена актива, достигнутая за период, прошедший до текущего момента. (Если оценка выполняется сразу после заключения контракта, S_max = S₀.)

Пример 22.1

Рассмотрим только что заключенный опцион “с оглядкой назад” на продажу бездивидендных акций при условии что цена исполнения равна 50 долл., волатильность – 40% в год, безрисковая процентная ставка – 10% годовых, а до завершения опциона осталось три месяца. В таком случае S_max = 50, S₀ = 50, r = 0,1, q = 0, σ = 0,4 и Т = 0,25. По формулам, приведенным выше, получаем следующие параметры: b₁ = -0,025, b₂ = -0,225, b₃ = 0,025 и Y_{2 = 0. Следовательно, стоимость опциона “пут” с оглядкой назад равна 7,79 долл. Стоимость только что заключенного аналогичного опциона “колл” с оглядкой назад равна 8,04 долл.}

Опцион “колл” с оглядкой назад позволяет его владельцу купить актив по наименьшей цене, зарегистрированной на протяжении срока действия опциона. Аналогично опцион “пут” с оглядкой назад позволяет его владельцу продать актив по наибольшей цене, зарегистрированной на протяжении срока действия опциона. Как правило, базовым активом в таких опционах являются товары. Как и барьерные опционы, опционы “с оглядкой назад” очень чувствительны к частоте регистрации цены актива при определении ее максимального или минимального значения. Формулы, приведенные выше, основаны на предположении, что все измерения производятся непрерывно. Броуди, Глассерман и Коу предложили внести в эти формулы поправки, учитывающие дискретный характер таких измерений.