22.11. Опционы на обмен активов

Опционы на обмен активов (иногда называемые обменными опционами (exchange options)) применяются в разных ситуациях. Опцион на покупку иены за австралийские доллары, с точки зрения американского инвестора, представляет собой обмен одного валютного актива на другой. Предложение о скупке всех акций компании по цене, выше рыночной (stock tender offer), также является опционом на обмен одних акций на другие.

Рассмотрим европейский опцион на передачу актива стоимостью U_T В момент Т и получение взамен актива стоимостью V_T. Выигрыш опциона равен

Формула для вычисления стоимости этого опциона впервые была предложена Маркграбом (Margrabe). Допустим, что цены активов U и V описываются законом геометрического броуновского движения с волатильностями σ_U и σ_V. Предположим далее, что коэффициент мгновенной корреляции между ценами U и V равен ρ, а доходность активов равна q_U и q_V соответственно. Стоимость опциона в нулевой момент времени равна

где

a U₀ и V₀ – стоимости активов U и V в начальный момент.

Эти формулы будут показаны в главе 25. Интересно отметить, что формула (22.3) не зависит от безрисковой процентной ставки r. Это объясняется тем, что скорость роста цен обоих активов в риск-нейтральных условиях, возрастающая при росте ставки г, полностью компенсируется увеличением дисконтной ставки. Переменная _σ является волатильностью величины V/U. Сравнение с формулой (14.4) показывает, что стоимость опциона совпадает со стоимостью U₀ европейских опционов на покупку актива стоимостью V/U при цене исполнения 1,0, безрисковой процентной ставкой q_U и дивидендной доходностью q_V. Марк Рубинштейн доказал, что американский вариант этого опциона можно оценить подобным образом. Его можно интерпретировать как U₀ американских опционов на покупку актива стоимостью V/M с ценой исполнения 1,0 при условии, что безрисковая процентная ставка равна q_U, а дивидендная доходность – q_V. Следовательно, этот опцион можно оценить с помощью биномиального дерева, как показано в главе 17.

Следует подчеркнуть, что опцион на получение более выгодного из двух активов можно трактовать как позицию по одному из активов в сочетании с опционом на обмен его на другой актив.