|
22.1. Объясните разницу между форвардным опционом “с отложенным стартом” и опционом Chooser.
22.2. Опишите выигрыш от портфеля, состоящего из опциона “колл” с оглядкой назад и опциона “пут” с оглядкой назад с одним и тем же сроком действия.
22.3. Рассмотрите опцион Chooser, владелец которого имеет право выбора между европейскими опционами “колл” и “пут” в любой момент на протяжении двух лет. Сроки действия и цены исполнения опционов “колл” и “пут” одинаковы независимо от того, в какой момент делается выбор. Всегда ли целесообразен выбор до окончания двухлетнего периода? Аргументируйте свой ответ.
22.4. Пусть c1 и p1 – стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по средней цене “пут” с ценой исполнения К и сроком исполнения Т, с2 и р2 – стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по средней цене исполнения со сроком исполнения Т, с3 и р3 – стоимости обычных европейских опционов “колл” и “пут” с ценой исполнения К и сроком исполнения Т. Докажите, что
c1 + c2 – c3 = p1 + p2 – p3.
22.5. В главе описан способ разложения конкретного опциона Chooser на опцион “колл” со сроком действия Т2 и опцион “пут” со сроком действия Т1. Опишите аналогичное разложение опциона Chooser на опцион “колл” со сроком действия Т1 и опцион “пут” со сроком действия Т2.
22.6. В разделе 22.6 приведены две формулы для вычисления стоимости опциона “колл” down-and-call. Первая формула применяется в ситуации, когда барьерный уровень Н меньше или равен цене исполнения К. Вторая формула используется в ситуации, когда Н ≥ К. Докажите, что эти формулы совпадают, если Н = К.
22.7. Объясните, почему опцион “пут” put-and-out имеет нулевую стоимость, если барьерный уровень выше цены исполнения.
22.8. Допустим, что цена исполнения американского опциона на покупку бездивидендных акций растет со скоростью g. Докажите, что если скорость g меньше безрисковой процентной ставки г, досрочное исполнение опциона никогда не станет целесообразным.
22.9. Как оценить стоимость форвардного опциона “с отложенным стартом” на продажу бездивидендных акций, если в момент старта цена исполнения на 10% будет выше цены акции?
22.10. Предположим, что цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения. Какой процесс описывает изменение величины A(t), где A(t) – среднее арифметическое значений цены акции в интервале от нуля до момента t?
22.11. Объясните, почему дельта-хеджирование азиатских опционов легче, чем для обычных опционов.
22.12. Вычислите стоимость однолетнего европейского опциона на обмен 100 унций серебра на одну унцию золота. Текущая стоимость золота и серебра равна 380 и 4 долл. соответственно, безрисковая процентная ставка – 10% годовых, волатильность каждого товара – 20%, а коэффициент корреляции между двумя ценами – 0,7. Затратами на хранение можно пренебречь.
22.13. Совпадают ли стоимости европейского опциона dow-and-out на актив и европейского опциона dow-and-out на фьючерсную цену актива по фьючерсному контракту, срок действия которого истекает одновременно с опционом?
22.14. Ответьте на следующие вопросы, касающиеся сложных опционов.
1) Опишите паритет между ценами европейского опциона на покупку опциона “колл” и европейского опциона на продажу опциона “колл”. Докажите, что формулы, приведенные в тексте, удовлетворяют этому отношению.
2) Опишите паритет между ценами европейского опциона на покупку опциона “пут” и европейского опциона на продажу опциона “пут”. Докажите, что формулы, приведенные в тексте, удовлетворяют этому отношению.
22.15. Как изменится стоимость опциона “с оглядкой назад” при увеличении количества измерений в ходе поиска минимальной цены актива?
22.16. Как изменится стоимость опциона “колл” down-and-out при увеличении количества измерений для поиска момента преодоления барьера? Справедлив ли этот ответ для опциона “колл” down-and-in?
22.17. Объясните, почему обычный европейский опцион “колл” представляет собой сочетание европейского опциона “колл” down-and-out и европейского опциона “колл” down-and-in. Выполняется ли это правило для американских опционов “колл”?
22.18. Чему равна стоимость дериватива, выигрыш по которому через шесть месяцев составит 100 долл., если индекс S&P 500 будет больше 1000, и нуль в противном случае? Допустим, что текущий уровень индекса равен 960 пунктам, безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, дивидендная доходность индекса – 3% годовых, а волатильность индекса – 20% в год.
22.19. Рассмотрим трехмесячный опцион down-and-out на покупку фьючерсного контракта на поставку серебра с ценой исполнения 20 долл. за унцию и барьером, равным 18 долл. Текущая фьючерсная цена равна 19 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность фьючерсов на поставку серебра – 40% в год. Объясните механизм действия этого опциона и вычислите его стоимость. Чему равна стоимость обычного опциона на покупку фьючерса на поставку серебра с теми же параметрами? Чему равна стоимость опциона down-and-in на покупку фьючерса на поставку серебра с теми же параметрами?
22.20. Срок действия нового европейского опциона “с оглядкой назад” на покупку фондового индекса равен девяти месяцам. Текущий уровень индекса – 400 пунктов, безрисковая процентная ставка – 6% годовых, доходность индекса – 4% годовых, а волатильность –20% в год. Вычислите стоимость опциона, используя программу DerivaGem.
22.21. Оцените стоимость нового шестимесячного европейского опциона по средней цене на покупку бездивидендных акций. Начальная цена акции равна 30 долл., цена исполнения – 30 долл., безрисковая процентная ставка – 5%, а волатильность цены акции – 30%.
22.22. Вычислите стоимость следующих опционов, используя программу DerivaGem.
1) Обычный европейский опцион на покупку бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения – 50 долл., безрисковая процентная ставка – 5% годовых, волатильность – 30%, а срок действия – один год.
2) Европейский опцион “колл” down-and-out в задаче 1 с барьером, равным 45 долл.
3) Европейский опцион “колл” down-and-in в задаче 1 с барьером, равным 45 долл.
Докажите, что стоимость опциона в задаче 1 равна сумме опционов в задаче 2 и 3.
22.23. Какие поправки следует сделать, при условии, что r = q, 1) при оценке опциона “колл” с оглядкой назад по формулам, приведенным в разделе 22.8, и 2) при вычислении значений M1 и М2.
|
