Приложение 22.1. Вычисление моментов для оценки пакетных и азиатских опционов

Сначала рассмотрим вычисления первых двух моментов при оценке пакета активов в будущий момент времени Т в риск-нейтральных условиях. Предполагается, что цены каждого актива в пакете имеют логнормальное распределение,

n: количество активов;

S_i: стоимость i-го актива в момент Т;

F_i: форвардная цена i-го актива, лежащего в основе контракта, истекающего в момент Т;

σ_i: волатильность i-го актива в интервале от нулевого момента до момента Т;

ρ_ij: коэффициент корреляции между значениями доходности i-го и j-го активов;

Р: стоимость пакета в момент Т;

M₁: первый момент величины Р в риск-нейтральных условиях;

М₂: второй момент величины Р в риск-нейтральных условиях.

Перейдем теперь к вычислению первых двух моментов среднеарифметической цены актива в будущий момент времени Т в риск-нейтральных условиях при условии, что среднее значение вычисляется по дискретным значениям. Предположим, что цена актива регистрируется в моменты Т_i, 1 ≤ i ≤ m. Введем следующие обозначения.

S_i: стоимость актива в момент T_i;

F_i: форвардная цена актива, лежащего в основе контракта, истекающего в момент T_i;

σ_i: подразумеваемая волатильность актива в интервале от нулевого момента до момента Т_i;

ρ_ij: коэффициент корреляции между значениями доходности актива в моменты T_i и T_j.

Р: среднеарифметическая цена;

М₁: первый момент величины Р в риск-нейтральных условиях;

М₂: второй момент величины Р в риск-нейтральных условиях.

В данном случае

Легко показать, что при j < j