Модель Блэка-Шоулза основана на предположении, что цена актива непрерывно изменяется, а ее будущие значения имеют логнормальное распределение. Однако существует большое количество альтернативных процессов, которые могут заменить эту гипотезу. В частности, можно по-прежнему считать, что цена актива непрерывно изменяется, но не подчиняется законам геометрического броуновского движения. Кроме того, можно допустить, что в целом цена актива измеряется непрерывно, однако в некоторые моменты времени испытывает скачки. Еще одной альтернативой является гипотеза о том, что все изменения цены актива скачкообразны. В этом разделе рассматриваются примеры стохастических процессов всех трех перечисленных типов. Модель, в рамках которой цена актива изменяется непрерывно, называется диффузионной (diffusion model). Модель, в которой цена актива в целом изменяется непрерывно, но иногда испытывает скачки, называется смешанной моделью скачкообразной диффузии (mixed jump-diffusion model). Модель, в которой цены актива постоянно испытывают скачки, называется скачкообразной (pure jump model). Все эти процессы относятся к категории процессов Леви (Levy processes).
Модель дисперсии с постоянной эластичностью
Модель дисперсии с постоянной эластичностью (CEV – constant elasticity of variance) основана на предположении, что риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены акции S, имеет вид
где r – безрисковая процентная ставка, q – дивидендная доходность, dz – винеровский процесс, σ – параметр волатильности и α – положительная константа.
Если α = 1, модель CEV совпадает с моделью геометрического броуновского движения. Если α < 1, то при уменьшении цены акции ее волатильность увеличивается. Это создает распределение вероятностей с тяжелым левым хвостом и менее тяжелым правым хвостом (см. рис. 15.4). Если же α > 1, то при увеличении цены акции ее волатильность растет, создавая распределение вероятностей с тяжелым правым хвостом и менее тяжелым левым хвостом. Это соответствует “улыбке волатильности”, в которой подразумеваемая волатильность является возрастающей функцией, зависящей от цены акции. Такой тип волатильности иногда наблюдается у фьючерсных опционов (см. упр. 14.46).
Формулы для вычисления стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по модели CEV имеют следующий вид.
если 0 < α < 1, и
если α > 1, где
a χ2(z, k, v) – интегральная вероятность того, что случайная переменная с нецентральным χ2-распределением, параметром нецентральности v и k степенями свободы меньше числа z. Процедура вычисления функции χ2(z, k, v) описана в техническом замечании 12, размещенном на Web-сайте автора.
Модель дисперсии с постоянной волатильностью особенно полезна для оценки экзотических опционов на обыкновенные акции. Минимизируя среднеквадратичное отклонение модельных цен от рыночных, можно найти параметры этой модели, которые позволяют максимально точно аппроксимировать стоимость обычных опционов.
|