Примером модели, в которой цена актива изменяется только скачкообразно, является модель гамма-дисперсии (variance-gamma model). В этой модели вводится переменная g, представляющая собой величину, на которую за время Т изменяется переменная, подчиняющаяся гамма-процессу с единичным математическим ожиданием и дисперсией, равной v. Гамма-процесс является чисто скачкообразным процессом, в котором малые скачки происходят очень часто, а крупные – лишь иногда. Плотность вероятности переменной g имеет вид
где Г(.) – гамма-функция. Ее можно вычислить с помощью функции программы Excel ГАММАРАСП(., ., ., .). Первым аргументом этой функции является переменная д, вторым – дробь T/v, третьим – параметр v, а четвертым – булева переменная, принимающая значение TRUE, если необходимо вычислить интегральную функцию распределения, и FALSE, если необходимо вычислить ее плотность.
Как обычно, введем следующие обозначения: ST – цена актива в момент Т, S0 – текущая цена актива, r – безрисковая процентная ставка, a q – дивидендная доходность. В риск-нейтральном мире величина InST в рамках модели гамма-дисперсии имеет нормальное распределение относительно переменной g. Ее условное математическое ожидание равно
условное стандартное отклонение –
где
Модель гамма-дисперсии имеет три параметра: v, σ и θ. Параметр v представляет собой дисперсию гамма-процесса, σ – его волатильность, а θ – параметр асимметрии. При θ = 0 функция lnST является симметричной, при θ < 0 она имеет отрицательную асимметрию, а при θ > 0 – положительную.
Предположим, что нам необходимо получить с помощью программы Excel 10 000 случайных выборок, содержащих изменения цены актива между моментами 0 и Т, используя модель гамма-дисперсии. Для начала запишем в ячейки Е1, Е2, ЕЗ, Е4, Е5, Е6 и Е7 величины Т, v, θ, σ, r, q и S0 соответственно. Кроме того, запишем в ячейку Е8 величину ω, вычислив ее по формуле
Затем необходимо выполнить следующие действия.
1. Вычислить значения g, используя функцию ГАММАОБР. Для этого в ячейки A1, А2, ..., А10000 следует записать формулу
2. Для каждого значения g вычислить случайную величину, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием θg и стандартным отклонением √g. Для этого в ячейку В1 следует записать формулу
а в ячейки В2, ВЗ, ..., В10000 – аналогичные формулы.
3. Цена акции ST вычисляется по следующей формуле.
Вводя в ячейку С1 формулу
а в ячейки C2, C3, ..., C100000 – аналогичные формулы, мы получим случайные величины, распределение которых совпадает с распределением случайной величины ST.
На рис. 24.1 приведены распределения вероятностей, полученные с помощью модели гамма-дисперсии для величины ST, где S0 = 100, Т = 0,5, v = 0,5, θ = 0,1, σ = 0,2 и r = q = 0. Для сравнения на рисунке продемонстрировано распределение, полученное для геометрического броуновского движения при σ = 0,2 (т.е. 20%). Хотя на рис. 24.1 этого не видно, распределение в модели гамма-дисперсии имеет более тяжелые хвосты, чем распределение, полученное для геометрического броуновского движения.
Одна из возможных интерпретаций распределения гамма-дисперсии возникает, когда параметр g представляет собой скорость поступления информации в течение периода времени длиной Т. Если величина g велика, то в систему поступает большой объем информации, и выборка, которую мы получим на втором этапе алгоритма, будет иметь относительно большие математическое ожидание и дисперсию. Если величина g мала, то в систему поступает мало информации, и соответствующая выборка будет иметь относительно малые математическое ожидание и дисперсию. Параметр Т представляет собой единицу измерения времени, а величину g иногда называют единицей измерения экономического времени или времени, согласованного с потоком информации.
Для оценки европейских опционов, Мадан и соавторы (Madan et al., 1998) предложили полуаналитические формулы. Модель гамма-дисперсии порождает U-образную форму “улыбки волатильности”, причем эта “улыбка” не всегда является симметричной. Она имеет особенно яркую форму для коротких сроков погашения и “исчезает вдали” при долгих сроках. Эту модель можно использовать как для оценки опционов на обыкновенные акции, так и для оценки валютных опционов.
|