|
Параметры рассмотренных выше моделей выбирались так, чтобы правильно аппроксимировать цены обычных опционов в любой заданный момент времени. Однако иногда финансовые организации предпочитают не ограничиваться этим и строят модели, дающие точные оценки простых опционов. В 1994 году Дерман (Derman), Кани (Kani), Дюпире (Dupire) и Рубинштейн (Rubinstein) разработали модель подразумеваемой волатильности (IVF – implied volatility function), или модель подразумеваемого дерева (implied tree model). Эта модель позволяет точно вычислить текущие цены всех европейских опционов независимо от формы поверхности волатильности.
Риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены актива в этой модели, имеет вид
где r(t) – мгновенная форвардная процентная ставка по контракту, срок действия которого истекает в момент t, a q(t) – доходность актива, представленная в виде функции, зависящей от времени. Волатильность σ(S, t) зависит от цены S и времени t. Она выбирается так, чтобы цены всех европейских опционов, вычисленные с помощью этой модели, совпадали с наблюдаемыми. Как показали Дюпире, Андерсен (Andersen) и Бразертон-Рэтклифф (Brotherton-Ratcliffe), функцию σ(S, t) можно вычислить по аналитической формуле:
где cmkt(K, T) – рыночная цена европейского опциона “колл” с ценой исполнения К и сроком действия Т. Если на рынке регистрируется достаточно большое количество цен европейских опционов, эта формула позволяет оценить функцию σ(S, t).
Андерсен и Бразертон-Рэтклифф реализовали свою модель с помощью формулы (24.4) в сочетании с неявным конечно-разностным методом. Альтернативный подход, метод подразумеваемого дерева, был предложен Дерманом, Кани и Рубинштейном. Он предусматривает построение дерева, отражающего изменение цены актива и согласованного с рыночными ценами опционов.
На практике модель IVF ежедневно калибруется по ценам простых опционов. Напомним, что цель этой модели – оценка экзотических опционов, согласованная с простыми опционами. Как показано в главе 16, простые опционы задают риск-нейтральное распределение вероятных цен актива во все будущие моменты времени. Отсюда следует, что модель IVF должна порождать правильное риск- нейтральное распределение вероятных будущих цен актива, т.е. опционы, приносящие выигрыш только в один момент времени (например, “все или ничего” или “актив или ничего”), должны правильно оцениваться моделью IVF.
Однако эта модель может неправильно оценивать совместное распределение вероятных цен актива в разные моменты времени. Это значит, что экзотические опционы, например, сложные или барьерные, могут оцениваться неправильно.
|
