24.5. Барьерные опционы

В главе 22 были приведены аналитические формулы для вычисления стоимости стандартных барьерных опционов. В данном разделе рассматриваются вычислительные процедуры оценки барьерных опционов в ситуациях, когда аналитические формулы вывести невозможно.

В принципе, стоимость барьерных опционов можно определить с помощью биномиальных и триномиальных моделей, изученных в главе 17. Рассмотрим опцион up-and-out. Его можно оценить гак же, как и обычный опцион, за исключением того, что в узлах дерева, значения в которых превышают барьерный уровень, стоимость опциона необходимо аннулировать.

Несмотря на то что метод триномиальных деревьев эффективнее метода биномиальных деревьев, все же он обладает очень медленной сходимостью. Для получения достаточно высокой точности необходимо выполнить очень большое количество шагов по времени. Причина этого явления заключается в том, что барьер, установленный для узлов дерева, отличается от истинного барьера. Внутренним (inner barrier) называется барьер, образованный узлами, лежащими ниже истинного барьера (т.е. ближе к центру дерева), а внешним (outer barrier) – барьер, образованный узлами, лежащими выше истинного барьера (т.е. дальше от центра дерева). На рис. 24.4 показаны внутренний и внешний барьеры в триномиальном дереве при условии, что истинный барьер является горизонтальным. В основе всех вычислений с помощью деревьев лежит неявное предположение, что внешний барьер совпадает с истинным, поскольку барьерные условия впервые используются в узлах именно этого барьера. Если шаг по времени равен Δt, то вертикальное расстояние между узлами имеет порядок √Δt. Это значит, что ошибка, обусловленная разностью между истинным барьером и внешним, также имеет порядок √Δt.

Для решения этой проблемы можно сделать следующее.

1. Вычислить стоимость дериватива, считая, что истинным является внутренний барьер.

2. Вычислить стоимость дериватива, считая, что истинным является внешний барьер.

3. Интерполировать эти цены.

Цель другого подхода – гарантировать, что узлы лежат на барьере. Предположим, что первоначальная цена акции равна S₀, а барьерный уровень равен H. В триномиальном дереве существуют три возможности: цена акции может увеличиться с коэффициентом пропорциональности u, остаться прежней или уменьшиться с коэффициентом пропорциональности d, где d = 1/u. Величину и всегда можно выбрать так, что узлы будут лежать на барьере. Это гарантируется следующим условием.

или

Обсуждая триномиальные деревья в разделе 17.4, мы предложили установить коэффициент и равным e^σ√3Δt. Таким образом, ln u = σ√3Δt. В рассматриваемой ситуации величину ln u следует выбирать как можно ближе к указанному значению. Это обеспечит выполнение условий, наложенных на горизонтальные барьеры. Итак,

где

a int[x] – это целая часть числа х.

Дерево, удовлетворяющее этим условиям, изображено на рис. 24.5. Вероятности р_u, Р_т и P_d, приписанные верхней, средней и нижней ветвям дерева, исходящим из его узлов, выбираются с учетом двух первых моментов стохастического процесса, описывающего доход. Формулы для их вычисления имеют следующий вид

Модель адаптивной сетки

Описанные выше методы хорошо работают только, если первоначальная цена актива далека от барьерного значения. В противном случае можно использовать модель адаптивной сетки, описанную в разделе 17.4. Идея, лежащая в основе этой модели, заключается в том, что вычислительную эффективность метода можно повысить, “прививая” густое дерево к более редкому. Это позволяет более точно моделировать цену актива в тех областях дерева, в которых это наиболее необходимо.

Чтобы оценить барьерный опцион, дерево вблизи барьера необходимо детализировать (рис. 24.6). Геометрия этого дерева выбирается так, чтобы его узлы лежали на барьерах. Вероятности, приписанные ветвям дерева, выбираются, как обычно, с учетом двух первых моментов стохастического процесса, описывающего поведение базового актива. Полужирные линии на рис. 24.6 изображают ветви грубого дерева. Тонкие сплошные линии образуют более детальное дерево. Первый обратный обход по грубому дереву выполняется как обычно. Затем цены дериватива в дополнительных узлах вычисляются с учетом ветвей, изображенных пунктирными линиями. В заключение выполняется обратный обход детализированного дерева.