24.6. Опционы на два коррелированных актива

Еще одной сложной вычислительной проблемой является оценка опционов, зависящих от двух активов, цены которых коррелируют друг с другом. (Иногда их называют опционами “радуга” (rainbow options).) Для решения этой задачи предложено много альтернативных методов. В данном разделе рассматриваются только три из них.

Преобразование переменных

Для представления поведения двух некоррелированных переменных можно относительно легко построить трехмерное дерево: сначала для каждой переменной строится свое двухмерное дерево, а затем эти деревья объединяются в одно трехмерное. Вероятности, приписанные каждой ветви трехмерного дерева, равны произведению соответствующих вероятностей, приписанных ветвям двухмерных деревьев. Допустим, например, что исследуемыми переменными являются цены акций S₁ и S₂. Каждую из этих переменных можно описать с помощью двухмерного биномиального дерева Кокса, Росса и Рубинштейна.

Допустим, то вероятность пропорционального роста цены S₁ с коэффициентом u₁ равна p₁, а вероятность снижения цены S₁ с коэффициентом d₁ равна 1 – р₁. Предположим далее, то вероятность пропорционального роста цены S₂ с коэффициентом и₂ равна р₂, а вероятность снижения цены S₂ с коэффициентом d₂ равна 1 – р₂. В трехмерном дереве из каждого узла исходят четыре ветви.

Рассмотрим ситуацию, в которой цены акций S₁ и S₂ коррелируют друг с другом. Допустим, что в риск-нейтральных условиях их изменения описываются следующими стохастическими процессами.

Предположим также, что мгновенная корреляция между винеровскими процессами dz₁ и dz₂ равна р. Это значит, что

Введем две новые некоррелированные переменные:

Эти переменные подчиняются следующим процессам:

Здесь dz_A и dz_B – некоррелированные винеровские процессы.

Переменные х₁ и х₂ можно моделировать, используя два разных биномиальных дерева. В момент Δt вероятность увеличения переменной x_i на число h_i равна Pi, а вероятность уменьшения – 1 – р_i. Переменные h_i и p_i выбираются так, чтобы дерево позволяло правильно вычислить два первых момента распределений переменных х_i и x₂. Поскольку эти переменные являются некоррелированными, два двухмерных дерева можно объединить в одно трехмерное. В каждом узле этого дерева величины S₁ и S₂ можно вычислить с помощью переменных х_i и x₂, используя обратные соотношения:

Процедура обратного обхода трехмерного дерева для вычисления стоимости дериватива аналогична двухмерному алгоритму.

Применение непрямоугольных деревьев

Способ построения трехмерного дерева для двух коррелированных цен акций на основе непрямоугольной расстановки узлов предложил Рубинштейн. Вероятности перехода из узла (S₁, S₂), где S₁ – цена первой акции, a S₂ – цена второй акции, равны

где

Когда корреляция равна нулю, этот метод становится эквивалентным процедуре построения отдельных деревьев для цен акций S₁ и S₂ с помощью альтернативного подхода к построению биномиальных деревьев, описанного в разделе 17.4.

Уточнение вероятностей

Третий подход к построению трехмерных деревьев для описания цен акций S₁ и S₂ заключается в следующем: сначала выдвигается предположение об отсутствии корреляции, а затем вычисленные вероятности в каждом узле уточняются так, чтобы учесть корреляцию. Для описания цен акций S₁ и S₂ применяется альтернативный подход к построению двухмерных биномиальных деревьев, описанный в разделе 17.4. Этот метод отличается тем, что в построенном дереве все вероятности равны 0,5. Если предположить, что корреляции между ценами нет, при объединении биномиальных деревьев вероятности принимают значения, указанные в табл. 24.1. С учетом корреляции они принимают значения, приведенные в табл. 24.2.