|
Резюме
Для описания “улыбок волатильности”, возникающих на практике, предложено много разных моделей. Модель дисперсии с постоянной эластичностью приводит к “улыбке волатильности”, напоминающей “улыбку волатильности” обычных акций. Модель скачкообразной диффузии приводит к “улыбке волатильности”, характерной для валютных опционов. Модель стохастической волатильности является более гибкой и может порождать как “улыбку волатильности”, характерную для обыкновенных акций, так и “улыбку волатильности”, наблюдаемую у валютных опционов. Модель подразумеваемой волатильности обеспечивает еще большую степень гибкости. Она разработана для того, чтобы аппроксимировать любую траекторию цен европейских опционов, наблюдаемую на рынке.
Для оценки опционов, зависящих от предыстории, естественно применять метод Монте-Карло. Однако этот метод является слишком медленным и не позволяет легко оценивать американские опционы. К счастью, для оценки деривативов, зависящих от предыстории, можно использовать деревья. Для этого в каждом из узлов дерева следует выбрать репрезентативные значения базовой функции, описывающей траекторию цен, и вычислить стоимость дериватива для каждого из этих значений, выполняя обратный обход дерева. Этот прием позволяет оценивать опционы с “оглядкой”. Вместо денег в качестве единицы измерения стоимости опционов можно использовать цену актива.
Для оценки разнообразных барьерных опционов можно использовать деревья. Однако, чтобы достичь достаточно высокой точности в этом методе, необходимо провести вычисления для очень большого количества шагов по времени. Это значительно замедляет всю процедуру. Для повышения сходимости этого метода существуют три способа. Во-первых, можно изменить геометрию дерева так, чтобы узлы всегда лежали на барьере. Во-вторых, учитывая, что барьер, установленный на дереве, отличается от истинного, можно провести интерполяцию. В-третьих, для уточнения расчетов стоимости опциона, когда цена базового актива близка к барьерному уровню, можно использовать модель адаптивной сетки.
Для вычисления стоимости опциона на два коррелированных актива можно использовать метод преобразования переменных, позволяющий создать две новые некоррелированные переменные. Каждая из этих переменных моделируется с помощью отдельного дерева, которые затем объединяются в единое трехмерное. Для вычисления стоимости опциона в каждом узле необходимо выполнить обратное преобразование. Второй подход основан на уточнении размещения узлов трехмерного дерева с учетом корреляции. Третий подход предусматривает построение дерева, игнорируя корреляцию между переменными, а затем уточнение вероятностей с учетом корреляции.
Метод Монте-Карло не предназначен для непосредственной оценки американских опционов, однако его можно адаптировать, используя два метода. Первый метод предусматривает проведение анализа зависимости между стоимостью отказа от досрочного исполнения опциона и значениями соответствующих переменных по методу наименьших квадратов. Второй метод использует параметризацию границы досрочного исполнения и ее итерационное уточнение на основе обратного обхода дерева.
Дополнительная литература
Andersen L. A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model // Journal of Computational Finance, 3, no. 2 (Winter 2000). – P. 1-32.
Andersen L. B. G. and Brotherton-Ratcliffe R. The Equity Option Volatility Smile: An Implicit Finite Difference Approach // Journal of Computational Finance, l, no. 2 (Winter 1997/98). – P. 5-37.
Boyle P. P. and Lau S. H. Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method // Journal of Derivatives, 1, no. 4 (Summer 1994). – P. 6-14.
Conze A. and Viswanathan R. Path Dependent Options: The Case of Lookback Options // Journal of Finance, 46 (1991). – P. 1983-1907.
Cox J. C. and Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). – P. 145-166.
Derman E. and Kani I. Riding on a Smile // Risk, February 1994. – P. 32-39.
Duan J.-C. The GARCH Option Pricing Model. – Mathematical Finance, 5 (1995). – P. 13-32.
Duan J.-C. Cracking the Smile // Risk, December 1996. – P. 55-59.
Dupire B. Pricing with a Smile // Risk, February, 1994. – P. 18-20;
Figlewski S. and Gao B. The Adaptive Mesh Model; A New Approach to Efficient Option Pricing // Journal of Financial Economics, 53 (1999). – P. 313-351.
Heston S. L. A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options // Review of Financial Studies, 6, 2 (1993). – P. 327-343.
Hull J. and White A. Efficient Procedures for Valuing European and American Path- Dependent Options // Journal of Derivatives, 1, no. 1 (Fall 1993). – P. 21-31.
Hull J. C. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance, 42 (June 1987). – P. 281-300.
Hull J. C. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research, 3 (1988). – P. 27-61.
Hull J. С. and Suo W. A Methodology for the Assessment of Model Risk and Its Application to the Implied Volatility Function Model // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, no. 2, (June 2002).
Longstaff F. A. and Schwartz E. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach // Review of Financial Studies, 14, no. 1 (Spring 2001). – P. 113-147.
Madan D.B., Carr P. P. and Chang E. C. The Variance-Gamma Process and Option Pricing // European Finance Review, 2 (1998). – P. 7-105.
Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). – P. 125-144.
Rebonato R. Volatility and Correlation: The Perfect Hedger and the Fox, 2nd edn. – Chichester: Wiley, 2004.
Ritchken P. and Trevor R. Pricing Options Under Generalized GARCH and Stochastic Volatility Processes // Journal of Finance, 54, no. 1 (February 1999). – P. 377- 402.
Rubinstein M. Implied Binomial Trees // Journal of Finance, 49, no. 3, (July 1994). – P. 771-818.
Rubinstein M. Return to Oz // Risk, November 1994. – P. 67-70.
Stutzer M. A Simple Nonparametric Approach to Derivative Security Valuation // Journal of Finance, 51 (December 1996). – P. 1633-1652.
Tilley J. A. Valuing American Options in a Path Simulation Model // Transactions of the Society of Actuaries, 45 (1993). – P. 83-104.
|
