|
До сих пор при оценке опционов предполагалось, что процентные ставки являются постоянными. В этой главе мы ослабим это условие и подготовим базу для оценки процентных деривативов (см. главы 26–30).
Принцип риск-нейтральной оценки, использованный нами в предыдущих главах, утверждает, что стоимость производных финансовых инструментов можно определить, 1) вычислив ожидаемый выигрыш в предположении, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке, и 2) дисконтируя ожидаемый выигрыш по безрисковой процентной ставке. Если процентные ставки являются постоянными, риск-нейтральные оценки оказываются довольно точными и однозначными. Если же процентные ставки подчиняются стохастическому процессу, ситуация усложняется. Какой смысл заключается в предположении, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке? Значит ли это, что 1) каждый день ожидаемая доходность равна однодневной безрисковой процентной ставке, или 2) каждый год ожидаемая доходность равна годовой безрисковой процентной ставке, или 3) за пять лет ожидаемая доходность равна пятилетней безрисковой процентной ставке, установленной в начале периода? А как дисконтировать ожидаемый выигрыш по безрисковой процентной ставке? Можно ли, например, дисконтировать ожидаемую доходность, полученную за пять лет, по текущей безрисковой процентной ставке?
В главе излагаются теоретические основы риск-нейтральных оценок в ситуациях, когда процентные ставки являются стохастическими. В ней показано, что существует множество риск-нейтральных условий, которые можно выдвигать в любых ситуациях. В начале главы формулируется определение рыночной цены риска (market price of risk). Затем приводится доказательство того, что избыточная доходность (excess return) произвольного дериватива за короткий промежуток времени, превышающая уровень безрисковой процентной ставки, линейно зависит от рыночной цены риска, связанного с базовыми стохастическими переменными. Традиционные риск-нейтральные условия (traditional risk-neutral world) предполагают, что все рыночные цены риска равны нулю. Однако в некоторых ситуациях оказываются полезными другие предположения о рыночной цене риска.
Мартингалы (martingales) и меры (measures) являются принципиально важными понятиями, лежащими в основе риск-нейтральных оценок. Мартингал – это стохастический процесс с нулевым дрейфом. Мера – это единицы измерения, в которых измеряется стоимость ценных бумаг. Основным результатом главы является теорема об эквивалентной мартингальной мере (equivalent martingale measure result). Она утверждает, что если в качестве единицы измерения используется стоимость ценных бумаг, то существует некая рыночная цена риска, для которой стоимости всех ценных бумаг описываются мартингалами.
Теорема об эквивалентной мартингальной мере используется для оценки фондовых опционов в ситуациях, когда процентная ставка описывается стохастическим процессом, а также для оценки опционов на обмен активов. Кроме того, в главе рассматриваются кванто (quantos) – деривативы, в которых процентные ставки, определенные в одной валюте, применяются к основной сумме, выраженной в другой валюте. В главе 26 этот результат используется при анализе стандартных рыночных моделей, предназначенных для оценки процентных деривативов, а в главе 27 он поможет нам описать модель рынка LIBOR.
|
