Мартингал (martingale) – это стохастический процесс с нулевым дрейфом. Переменная θ описывается мартингалом, если процесс, которому она подчиняется, имеет вид
где dz – винеровский процесс. Переменная σ, в свою очередь, также может быть стохастической. Она может зависеть как от переменной θ, так и от других стохастических переменных.
У мартингала есть удобное свойство: его математическое ожидание в любой будущий момент времени равно его текущему значению. Это значит, что
где θ0 и θT – значения переменной θ в нулевой момент и в момент Т соответственно. Чтобы понять смысл этого утверждения, следует обратить внимание на то, что на очень маленьком промежутке времени изменения переменной θ имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Следовательно, математическое ожидание изменения переменной θ на произвольном очень малом промежутке времени равно нулю. Изменение переменной θ на временном интервале от 0 до T представляет собой сумму всех изменений переменной θ на большом количестве маленьких временных подынтервалов. Следовательно, математическое ожидание изменения переменной θ на временном интервале от 0 до Т также равно нулю.
Теорема об эквивалентной мартингальной мере
Допустим, что f и g – стоимости ценных бумаг, зависящих от одного источника неопределенности. Предположим, что на рассматриваемом промежутке времени эти ценные бумаги не приносят дохода. Введем следующее обозначение.
Переменная φ представляет собой относительную стоимость ценной бумаги f по отношению к ценной бумаге g. Эту ситуацию можно интерпретировать так, будто стоимость ценной бумаги f измеряется в единицах стоимости ценной бумаги g, а не в долларах. Стоимость ценной бумаги g в этом случае называется масштабом цен (numeraire).
Теорема об эквивалентной мартингальной мере утверждает, что при отсутствии арбитражных возможностей переменная φ при определенном выборе рыночной цены риска является мартингалом. Кроме того, при заданном масштабе цен g выбор той же самой рыночной цены риска делает переменную φ мартингалом для всех ценных бумаг. Для этого рыночную цену риска следует выбрать равной волатильности ценной бумаги д. Иначе говоря, если рыночная цена риска равна волатильности ценной бумаги g, отношение f / g является мартингалом для всех ценных бумаг.
Для доказательства этого результата предположим, что волатильности цен f и g равны σf и σg. При условии, что рыночная цена риска равна σg, из равенства (25.10) следует, что
Используя лемму Ито, получаем следующие равенства.
Таким образом,
т.е.
Используя лемму Ито для определения процесса, описывающего отношение f/g с помощью процесса ln(f/g), получаем следующий результат.
Отсюда следует, что отношение f/g – мартингал. Что и требовалось доказать.
Условия, в которых рыночная цена риска равна волатильности σg, называются форвардными риск-нейтральными условиями (forward risk-neutral world) относительно ценной бумаги g.
Поскольку в форвардных риск-нейтральных условиях относительно ценной бумаги g отношение f/g является мартингалом, справедливо следующее равенство.
т.е.
где Еg – математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно ценной бумаги g.
|