В разделе рассматриваются два приложения теории форвардных риск-нейтральных расчетов. Остальные примеры будут проанализированы в главах 26, 27, 29 и 30.
Модель Блэка-Шоулза
Теорию форвардных риск-нейтральных расчетов можно применить для расширения модели Блэка-Шоулза на ситуации, в которых процентные ставки являются стохастическими. Рассмотрим европейский опцион на покупку бездивидендной акции, истекающий в момент Т. Из равенства (25.20) следует, что стоимость опциона “колл” вычисляется по следующей формуле.
Здесь ST – цена акции в момент Т, K – цена исполнения, а ET – математическое ожидание при форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, выплаты по которой осуществляются в момент Т. Обозначим через R нулевую ставку в момент Т. Тогда
и равенство (25.26) принимает вид
Если предположить, что в форвардных риск-нейтральных условиях, рассматриваемых нами, величина ST имеет логнормальное распределение, а стандартное отклонение ln(ST) равно s, то из фактов, изложенных в главе 13, следует, что
где
Из формулы (25.21) следует, что ET(ST) является форвардной ценой акции по контракту, истекающему в момент Т. Следовательно,
Уравнения (25.27)–(25.29) приводят к следующему результату.
где
Если волатильность цены акции σ определена так, что σ√T = w, то выражения для величин d1 и d2 принимают следующий вид.
Отсюда следует, что цену опциона “колл” можно вычислять по формуле Блэка-Шоулза, заменив величину r переменной R. Стоимость европейского опциона “пут” вычисляется аналогично.
|