Вопросы и задачи

25.1. Как определяется рыночная цена риска, связанного с переменной, не являющейся стоимостью инвестиционного актива?

25.2. Предположим, что рыночная цена риска, связанного с золотом, равна нулю, стоимость хранения золота равна 1% в год, а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Чему равна ожидаемая скорость роста стоимости золота, если золото не приносит дохода?

25.3. Рассмотрим две ценные бумаги, зависящие от одного и того же рыночного показателя. Ожидаемая доходность этих ценных бумаг равна 8 и 12% соответственно. Волатильность первой ценной бумаги равна 15%. Мгновенная безрисковая процентная ставка равна 4%. Чему равна волатильность второй ценной бумаги?

25.4. Единственной целью нефтяной компании является добыча нефти на небольшом месторождении в Техасе. Ее стоимость, в основном, зависит от двух стохастических переменных: цены на нефть и объема разведанных запасов нефти. Какой характер имеет зависимость рыночной цены риска от второй переменной: положительный, отрицательный или нейтральный?

25.5. Выведите дифференциальное уравнение для стоимости дериватива, зависящего от двух ценных бумаг, не приносящих дивидендов, сформировав инвестиционный портфель, свободный от риска, состоящий из дериватива и двух ценных бумаг.

25.6. Предположим, что процентная ставка x описывается стохастическим процессом

где a, x₀ и c – положительные константы. Допустим также, что рыночная цена риска, связанного с переменной x, равна А. Какой стохастический процесс описывает поведение переменной x в традиционных риск-нейтральных условиях?

25.7. Докажите, что если доходность ценных бумаг f равна q, то равенство (25.9) принимает вид μ + q – r = λσ. (Подсказка: создайте новую ценную бумагу f*, не приносящую дохода, предполагая, что весь доход, полученный по ценной бумаге f, реинвестируется в нее же.)

25.8. Докажите, что если доходности ценных бумаг f и g равны q_f и q_g соответственно, то равенство (25.15) принимает вид

(Подсказка: создайте две новые ценные бумаги f* и g*, не приносящие дохода, предполагая, что весь доход, полученный по ценным бумагам f и g, реинвестируется в них же.)

25.9. “Ожидаемая будущая величина процентной ставки в риск-нейтральных условиях больше, чем в действительности.” Какие выводы следуют из этого утверждения по отношению к рыночной цене риска, связанного 1) с процентной ставкой или 2) стоимостью облигации? Верно ли это высказывание? Аргументируйте свои выводы.

25.10. Переменная S представляет собой стоимость инвестиционного актива с доходностью q, номинированной в валюте А. Следовательно, процесс

описывает поведение переменной S в реальном мире. Опишите процесс, которому подчиняется переменная S в перечисленных ниже условиях (при необходимости можно ввести новые переменные).

1) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты А.

2) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты В.

3) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте А, срок обращения которой истекает в момент Т.

4) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте В, срок обращения которой истекает в момент Т.

25.11. Объясните разницу между определением форвардной процентной ставки и форвардных величин других переменных, таких как цена акции, цена товара или обменный курс.

25.12. Докажите результат, изложенный в разделе 25.5, если поведение переменных f и g описывается следующими стохастическими процессами.

где величины dz_i не коррелируют друг с другом, а отношение f/g является мартингалом, описывающим переменную λ_i = σ_{g, i}.

25.13. Докажите равенство (25.33) из раздела 25.7.

25.14. Докажите, что если w = h/g, а переменные h и g зависят от п винеровских процессов, то i-й компонент волатильности переменной w равен разности между i-м компонентом волатильности переменной h и i-м компонентом волатильности переменной g. Используя этот результат, докажите, что если σ_U является волатильностью переменной U, а σ_V является волатильностью переменной V, то волатильность переменной U/V равна √σ_U² + σ_V² – 2ρσ_Uσ_V;. (Подсказка: используйте результат, изложенный в сноске 7.)