Упражнения

25.15. Предположим, что стоимость ценной бумаги зависит от двух переменных: цены на медь и обменного курса иена-доллар. Допустим, что рыночная цена риска, связанного с этими переменными, равна 0,5 и 0,1 соответственно. Если цена на медь является фиксированной, то волатильность ценной бумаги равна 8% в год. Если обменный курс иена-доллар фиксирован, то волатильность ценной бумаги равна 12% в год. Безрисковая процентная ставка равна 7% годовых. Чему равна ожидаемая доходность ценной бумаги? Чему равна волатильность ценной бумаги, если две переменные не коррелируют друг с другом?

25.16. Предположим, что цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, описывается стохастическим процессом

а цена дериватива, зависящего от этой облигации, подчиняется процессу

Предположим, что стоимость дериватива зависит только от одного источника неопределенности, а сам дериватив не приносит дохода.

1) Чему равна форвардная цена F дериватива f, если контракт истекает в момент T?

2) Какой процесс описывает форвардную цену F при форвардных риск- нейтральных условиях относительно функции P(t, T)?

3) Какой процесс описывает форвардную цену F при традиционных риск-нейтральных условиях?

4) Какой процесс описывает цену дериватива f при форвардных риск- нейтральных условиях относительно облигации, срок обращения которой истекает в момент T*, где Т* ≠ Т? Будем считать, что волатильность этой облигации равна σ²_P.

25.17. Рассмотрим переменную, не являющуюся процентной ставкой.

1) При каких условиях ее фьючерсная величина является мартингалом?

2) При каких условиях ее форвардная величина является мартингалом?

3) Определяя переменные соответствующим образом, выведите выражение для разности между дрейфом фьючерсной цены и дрейфом форвардной цены в риск-нейтральном мире.

4) Докажите, что ваш результат согласуется с выводами, сделанными в разделе 5.8, если фьючерсная цена больше форвардной.