|
В предыдущих разделах рассмотрены три варианта модели Блэка: для облигационных опционов, для опционов “кэп” и свопционов. Каждая из этих моделей является внутренне непротиворечивой, но они не согласуются друг с другом. Например, если фьючерсные цены облигаций имеют логнормальное распределение, то фьючерсные нуль-купонные ставки и ставки свопов не имеют такого распределения. Если же распределение фьючерсных нуль-купонных ставок является логнормальным, то распределения фьючерсных цен облигаций и ставок свопа таковыми не являются.
Эти результаты можно обобщить.
1. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, размер выплаты по которому в момент Т зависит от стоимости некоей ценной бумаги в этот момент. Если математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая стоимость базовой ценной бумаги равна ее форвардной цене, то текущая стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплат, умноженному на P(0, T).
2. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, размер выплаты по которому в момент Т* зависит от Т*-летней процентной ставки, наблюдаемой в момент Т. Если математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая стоимость базовой процентной ставки равна форвардной процентной ставке, то текущая стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплат, умноженному на Р(0, Т*).
3. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, предусматривающий выплаты в форме аннуитета. Предположим, что размер аннуитета в момент Т представляет собой функцию, зависящую от ставки свопа для n-летнего свопа, вступающего в действие в момент Т. Кроме того, допустим, что аннуитет действует в течение п лет, а даты выплат по аннуитету и по свопу совпадают. Стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплаты за год, умноженной на величину А, если выполняются два условия: 1) величина А равна текущей стоимости аннуитета, если выплаты осуществляются на уровне одного доллара в год, и 2) математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая фьючерсная ставка свопа равна форвардной ставке свопа.
Первый из этих результатов является обобщением модели для оценки европейских облигационных опционов, второй представляет собой обобщение модели для оценки опционов “кэп”/“фло”, а третий является обобщением модели для оценки свопциона.
|
