Вопросы и задачи

26.1. Компания организовала опцион “кэп” на трехмесячную ставку LIBOR, равную 10% годовых. Основная сумма равна 20 млн долл. В момент новой установки процентной ставки трехмесячная ставка LIBOR оказалась равной 12% годовых. Какой размер выплаты возникает в рамках этого опциона? Когда эта выплата должна быть осуществлена?

26.2. Объясните, почему свопцион можно считать разновидностью облигационного опциона.

26.3. Используя модель Блэка, оцените однолетний европейский опцион “пут” на десятилетнюю облигацию. Предположим, что приведенная стоимость облигации равна 125 долл., цена исполнения опциона равна 125 долл., однолетняя процентная ставка равна 10% годовых, волатильность цены облигации равна 8% в год, а текущая стоимость купонных выплат, осуществляемых на протяжении срока действия опциона, равна 10 долл.

26.4. Подробно объясните, как использовать 1) реальную волатильность и 2) слабую волатильность для оценки пятилетнего опциона “кэп”.

26.5. Вычислите цену опциона, в котором через 15 месяцев в качестве верхней предельной ставки устанавливается трехмесячная процентная ставка на уровне 13% (при ежеквартальном начислении), применяемая к основной сумме, равной 1 000 долл. Форвардная процентная ставка на исследуемый период равна 12% годовых (при ежеквартальном начислении), 18-месячная безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) равна 11,5% годовых, а волатильность форвардной ставки равна 12% годовых.

26.6. Для оценки европейских облигационных опционов банк использует модель Блэка. Предположим, что для оценки девятилетнего облигационного опциона используется подразумеваемая волатильность цены пятилетнего опциона на облигацию, срок обращения которой истекает через 10 лет. Насколько точной будет вычисленная стоимость? Будет ли она слишком высокой или слишком низкой? Аргументируйте свой ответ.

26.7. Вычислите стоимость четырехлетнего европейского опциона на покупку пятилетней облигации, используя модель Блэка. Наличная цена пятилетней облигации равна 105 долл., наличная цена четырехлетней облигации с тем же купоном равна 102 долл., цена исполнения равна 100 долл., четырехлетняя безрисковая процентная ставка равна 10% годовых при непрерывном начислении, а волатильность цены облигации в течение четырех лет равна 2% в год.

26.8. Как оценить опцион, если волатильность доходности по пятилетнему опциону на продажу облигации, срок обращения которой истекает через 10 лет, равна 22%? Будем считать, что с учетом сегодняшних процентных ставок модифицированная дюрация облигации в момент завершения опциона будет равна 4,2 долл., а форвардная доходность облигации равна 7%.

26.9. Какие финансовые инструменты эквивалентны пятилетнему опциону “коллар” с нулевой стоимостью, если цена исполнения опциона “кэп” равна цене исполнения опциона “фло”? Чему равна их общая цена исполнения?

26.10. Докажите паритет опционов “колл” и “пут” для европейских облигационных опционов.

26.11. Докажите паритет опционов “колл” и “пут” для европейских свопционов.

26.12. Объясните, из-за чего возникают арбитражные возможности, если подразумеваемая волатильность опциона “кэп” в модели Блэка (слабая) отличается от подразумеваемой волатильности опциона “фло”. Создают ли котировки брокеров, приведенные в табл. 26.1, какие-либо арбитражные возможности?

26.13. Может ли доходность облигации быть отрицательной, если цена облигации имеет логнормальное распределение? Аргументируйте свой ответ.

26.14. Чему равна стоимость европейского свопциона, дающего его держателю право заключить через четыре года трехлетний своп с ежегодными выплатами, если держатель выплачивает фиксированную ставку, равную 5%, а получает – ставку LIBOR? Основная сумма свопа равна 10 млн долл. Будем считать, что кривая доходности проходит горизонтально на уровне 5% годовых с ежегодным начислением, а волатильность ставки свопа равна 20%. Сравните ответ с результатами вычисления, полученными с помощью программы DerivaGem.

26.15. Предположим, что доходность R облигации с нулевым купоном подчиняется стохастическому процессу

dR = μ dt + σ dt,

где μ и σ – функции, зависящие от величин R и t, a dz – винеровский процесс. Используя лемму Ито, докажите, что цена облигации с нулевым купоном по мере приближения срока ее погашения стремится к нулю.

26.16. Выполните вручную вычисления, подтверждающие правильность цены, полученной в примере 26.2.

26.17. Допустим, что однолетние, двухлетние, трехлетние, четырехлетние и пятилетние нуль-купонные ставки равны 6, 6,4, 6,7, 6,9 и 7%. Пятилетний опцион “кэп”, расчетный интервал которого равен полугоду, основная сумма равна 100 долл., а предельный уровень равен 8%. стоит 3 долл. Используя программу DerivaGem, вычислите следующие величины.

1) Пятилетнюю слабую волатильность опционов “кэп” и “фло”.

2) Нижний предельный уровень в пятилетием опционе “рамки” с нулевой стоимостью, если его верхний предельный уровень равен 8%.

26.18. Докажите, что V₁ + f = V₂, где V₁ – стоимость свопциона, позволяющего держателю выплачивать фиксированную ставку s_K и получать ставку LIBOR, установленную на период между моментами T₁ и T₂, f – стоимость форвардного свопа, позволяющего держателю получать фиксированную ставку s_K и выплачивать ставку LIBOR, установленную на период между моментами T₁ и T₂, a V₂ – стоимость свопа, позволяющего держателю получать фиксированную ставку s_K, установленную на период между моментами T₁ и T₂. Докажите, что V₁ = V₂, если s_K – текущая форвардная ставка свопа.

26.19. Предположим, что нуль-купонные ставки установлены на уровне, указанном в задаче 26.17. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость опциона, позволяющего держателю выплачивать фиксированную ставку, равную 6%, и получать ставку LIBOR по пятилетнему свопу, срок действия которого начинается через год. Будем считать, что основная сумма равна 100 млн долл., выплаты осуществляются раз в полгода, а волатильность ставки свопа равна 21%.

26.20. Опишите, как вычислить 1) слабую волатильность опциона “кэп” и 2) реальную волатильность опциона “кэп”, используя его слабую волатильность.