27.3. Кванто

Кванто (quanto), или кросс-валютный дериватив (cross-currency derivative), – это финансовый инструмент, в котором задействованы две валюты. Выплата по кросс-валютному деривативу, зависящая от переменной, номинированной в одной валюте, выплачивается в другой. Примером кванто является фьючерсный контракт на фондовый индекс Nikkei, заключаемый на бирже CME (см. врезку “Пример из деловой практики 5.3”). В основе этого контракта лежит фондовый индекс Nikkei 225, измеряемый в иенах, однако сам контракт номинируется в долларах США.

Рассмотрим кванто, обеспечивающий выплату в валюте X в момент времени Т. Предположим, что размер этой выплаты зависит от величины переменной V, номинированной в валюте У, в момент Т. Введем следующие обозначения. P_X(t,T): стоимость в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Г равен одной единице в валюте X, номинированная в валюте X; P_Y(t, Т): стоимость в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Т равен одной единице в валюте У, номинированная в валюте X; V_T: величина переменной V в момент Т; Е_X(V_T): математическое ожидание переменной в нулевой момент в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции P_X(t, Т); Е_Y(V_T): математическое ожидание переменной в нулевой момент в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции P_Y(t, Т).

При замене форвардных риск-нейтральных относительно P_Y(t,T) условий на форвардные риск-нейтральные условия относительно P_X(t,T), масштабный коэффициент равен

где S(t) – обменный спот-курс (количество единиц в валюте У, выплачиваемых на единицу валюты X) в момент t. Отсюда следует, что масштабный коэффициент W(t) представляет собой форвардный обменный курс (количество единиц в валюте У, выплачиваемых на единицу валюты X) по контракту, истекающему в момент Т. Введем следующие обозначения.

σ_W: волатильность величины W;

σ_V: волатильность величины V;

ρ_VW: мгновенная корреляция между величинами V и W.

Из формулы (25.35) следует, что изменение масштаба цен приводит к увеличению переменной V на величину σ_V, где

Предполагая, что волатильности и корреляция являются постоянными, приходим к выводу, что

аппроксимация которого выглядит следующим образом:

Эта формула будет использована в главе 30 при оценке дифференциального свопа.

Пример 27.4

Предположим, что текущее значение индекса Nikkei в рамках однолетнего контракта равно 15 000 иен, однолетняя безрисковая процентная ставка в долларах равна 5%, однолетняя безрисковая процентная ставка в иенах равна 2%, а доходность индекса в иенах равна 1%. Форвардную стоимость индекса Nikkei в контракте, номинированном в иенах, можно вычислить как обычно, используя равенство (5.8).

Предположим, что волатильность однолетней форвардной стоимости индекса равна 20%, волатильность однолетнего форвардного обменного курса иена-доллар равна 12%, а коэффициент корреляции между однолетней форвардной стоимостью индекса Nikkei и однолетним форвардным обменным курсом иена-доллар равен 0,3. В таком случае Е_Y(V_T) = 15150,75, σ_V = 0,20, σ_W = 0,12 и ρ = 0,3. Из формулы (27.6) следует, что ожидаемая стоимость индекса Nikkei в форвардных риск-нейтральных условиях относительно однолетней долларовой облигации равна

Эта величина представляет собой форвардную стоимость индекса Nikkei в рамках контракта, выплаты по которому осуществляются в долларах, а не в иенах. (С определенной натяжкой ее можно также считать фьючерсной ценой такого контракта.)