Приложение 27.1. Формула для вычисления поправки на выпуклость

В приложении изложен вывод формулы для вычисления поправки на выпуклость. Предполагается, что выплата по деривативу в момент Т зависит от доходности облигации, наблюдаемой в это время. Введем следующие обозначения.

y₀: форвардная доходность облигации, наблюдаемая сегодня, по форвардному контракту, срок действия которого истекает через Т лет;

y_T: доходность облигации в момент Т;

B_T: цена облигации в момент Т;

σ_y: волатильность форвардной доходности облигации.

Предположим, что

Раскладывая функцию G(y_T) в ряд Тейлора в окрестности точки у = у₀, получим следующую приближенную формулу.

Здесь G' и G" – первая и вторая производные функции G. Вычисляя математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, получаем следующий результат.

Здесь E_T – математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном. Выражение G(y₀), по определению, равно форвардной цене облигации. Кроме того, учитывая условия, в которых выполняются вычисления, величина Ет(Вт) равна форвардной цене облигации. Поскольку E_T(B_T) = G(y₀), получаем, что

Выражение E_T[(y_T – y₀)²] приближенно равно σ²_yy²₀Т. Следовательно, справедлива следующая приближенная формула.

Следовательно, для того чтобы вычислить ожидаемую доходность облигации в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, к форвардной доходности облигации необходимо добавить величину

Этот результат полностью соответствует формуле (27.1). Его альтернативное доказательство кратко описано в задаче 27.6.