|
Краткосрочная ставка r в момент t представляет собой процентную ставку, устанавливаемую на бесконечно малый период времени, начинающийся в момент t. По этой причине ее иногда называют мгновенной краткосрочной ставкой (instantaneous short rate). Реального процесса, адекватно описывающего поведение краткосрочной ставки, не существует. Цены облигаций, опционов и других деривативов зависят только от теоретического процесса, описывающего поведение краткосрочной ставки r в риск-нейтральных условиях. Эти условия описывают традиционный риск-нейтральный мир, в котором на очень коротком промежутке времени между моментами t и t + Δt инвесторы в среднем зарабатывают сумму, равную r(t)Δt. Все стохастические процессы, описывающие поведение ставки r, рассмотренные в главе, относятся именно к риск-нейтральному миру.
Из формулы (25.19) следует, что в момент t стоимость процентного дериватива, приносящего в момент Т выигрыш в размере fT, равна
где r – среднее значение ставки r на интервале времени между моментами t и Т, а символ Ё обозначает математическое ожидание в традиционном риск-нейтральном мире.
Как обычно, обозначим через P(t, Т) цену в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Т равен одному доллару. Из формулы (28.1) следует, что
Если R(t, Т) – непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в момент t, установленная на срок Т – t, то
так что
В свою очередь, из формулы (28.2) следует, что
Эта формула позволяет в любой момент времени определить временную структуру процентной ставки по ее значению r, установленному на этот момент, и риск-нейтральному процессу, описывающему поведение величины r. Итак, полностью определив процесс, описывающий поведение ставки r, мы получаем полную информацию о первоначальной нулевой кривой и ее эволюции во времени.
|
