Рейтинг брокеров бинарных опционов
2021
Лучший брокер валютного рынка – компания Альпари успешно предоставляет услуги своим клиентам уже в течение 22-х лет. Регистрируйтесь и зарабатывайте вместе с нами!

Наша
библиотека

Получайте компенсацию до 100% от спреда/комиссии, взимаемых Вашим брокером, торгуя через Международное объединение Форекс трейдеров (МОФТ).
Кто такие брокеры бинарных опционов Как выбрать брокера бинарных опционов Надежные брокеры бинарных опционов Честные брокеры бинарных опционов Лучшие брокеры
бинарных опционов
2021

Как выбрать брокера бинарных опционов

Рейтинг бинарных брокеров 2021

28.7. Общая процедура построения дерева

Халл и Уайт предложили устойчивую двухэтапную процедуру построения триномиальных деревьев, описывающих широкий спектр однофакторных моделей. Сначала в этом разделе описывается использование этой процедуры в модели Халла-Уайта (формула 28.13), а затем она обобщается на другие модели.

Первый этап

Модель Халла-Уайта для мгновенной краткосрочной процентной ставки r имеет следующий вид.

Для упрощения изложения в дальнейшем будем считать, что шаг по времени является постоянным и равен Δt.

Предположим, что ставка R, установленная на период Δt, описывается тем же стохастическим процессом, что и ставка r.

Очевидно, это выражение представляет собой предел, к которому стремится процесс, когда Δt стремится к нулю. На первом этапе построения дерева для модели Халла-Уайта необходимо построить дерево, отражающее возможные изменения величины R* (в дальнейшем – R*-дерево. – Примеч. ред.), которая в начальный момент времени равна нулю и описывается стохастическим процессом

Этот процесс симметричен относительно значения R* = 0. Переменная R*(t + Δt) – R*(t) имеет нормальное распределение. Если отбросить слагаемые, содержащие второй и более высокие порядки величины At, то математическое ожидание переменной R*(t + Δt) – R*(t) равно –aR*Δt, а дисперсия равна σ2Δt.

Обозначим через ΔR. разность между процентными ставками, представленными на дереве, и положим ее равной

Это позволяет минимизировать ошибку аппроксимации.

Цель первого этапа – построить дерево, похожее на R*-дерево, изображенное на рис. 28.8. Для этого необходимо решить, какую из схем ветвления, показанных на рис. 28.7, следует применить в каждом из узлов. Это определяет геометрию всего дерева. После этого следует вычислить вероятности, приписанные каждой из ветвей.

Обозначим через (i, j) узел, в котором t = iΔt и R* = jΔR. (Переменная i – это положительное целое число, a j – положительное или отрицательное целое число.) Метод ветвления, использованный в узле, должен гарантировать, что вероятности перехода по каждой из трех ветвей, исходящих из узла, являются положительными. В большинстве случаев наиболее удобной оказывается схема ветвления, изображенная на рис. 28.7, а. Если а > 0, то при достаточно большом значении j эту схему ветвления следует заменить схемой, представленной на рис. 28.7, в. Аналогично, если число j отрицательно и достаточно велико, схему, показанную на рис. 28.7, а, необходимо заменить схемой, изображенной на рис. 28.7, б. Обозначим через jmax значение параметра j, при котором следует схему ветвления, показанную на рис. 28.7, а, заменить схемой, приведенной на рис. 28.7, в, а через jmin – значение параметра, при котором следует выполнить замену схемы ветвления с рис. 28.7, а на схему с рис. 28.7, б. Халл и Уайт показали, что вероятности всегда остаются положительными, если установить величину jmax равной наименьшему целому числу, превышающему значение 0,184/(aΔt), а в качестве jmin выбрать значение -jmax. Обозначим через ри, рт и pd вероятности перехода из узла по каждой из трех ветвей. Вероятности выбираются в соответствии с ожидаемым изменением величины R* и дисперсией этого изменения на следующем временном интервале. Сумма вероятностей должна быть равной единице. Это приводит к трем уравнениям относительно трех вероятностей.

Как указывалось ранее, среднее изменение величины R* за время Δt равно –aR*Δt, а дисперсия изменений равна σ2Δt. В узле (i, j)R* = jΔR. Если ветвление имеет вид, представленный на рис. 28.7, а, то величины ри, рm и рd в узле (r, j) должны удовлетворять трем уравнениям.

Используя значение ΔR = σ√3Δt, приходим к выводу, что решением системы уравнений являются следующие числа.

Аналогично, если схема ветвления имеет вид, представленный на рис. 28.7, б, вероятности будут равны следующим числам.

В заключение приведем вероятности, соответствующие схеме ветвления, изображенной на рис. 28.7, в.

Для иллюстрации первого этапа построения дерева предположим, что σ = 0,01, а = 0,1 и Δt = 1 год. В таком случае ΔR = 0,01√3 = 0,0173, величина jmax равна наименьшему целому числу, превышающему 0,184/0,1 и jmin = –jmax. Это значит, что jmax = 2 и jmin = –2, а дерево изображено на рис. 28.8. Вероятности перехода по ветвям, исходящим из каждого узла, указаны в таблице, приведенной на рис. 28.8. Они вычислены с помощью решения системы уравнения относительно величин ри, рт и рd.

Обратите внимание на то, что вероятности, приписанные каждому из узлов на рис. 28.8, зависят только от индекса j. Например, вероятности, приписанные узлу В, совпадают с вероятностями, приписанными узлу F. Более того, дерево является симметричным. Вероятности, приписанные узлу D, являются зеркальным отражением вероятностей, приписанных узлу В.

Второй этап

Второй этап построения дерева заключается в преобразовании R*-дерева в R-дерево. Для этого необходимо разместить узлы R*-дерева так, чтобы первоначальные временные структуры процентных ставок совпали. Введем следующее обозначение.

Величину α можно вычислить с помощью итерационной процедуры так, чтобы она точно соответствовала первоначальной временной структуре. Для этого обозначим величину αi через α(iΔt). Она представляет собой разность между величиной ставки R на R-дереве в момент iΔt и соответствующей величиной ставки R* на R*-дереве в момент iΔt. Кроме того, обозначим через Qij текущую стоимость ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория ставки проходит через узел (i, j), и нулю в противном случае. Величины αi и Qij можно вычислить с помощью форвардной индукции так, чтобы полностью воспроизвести первоначальную временную структуру.

Иллюстрация второго этапа

В табл. 28.1 приведены гипотетические нуль-купонные непрерывно начисляемые ставки из рис. 28.8. Величина Q0,0 равна 1,0. Величина α0 выбирается так, чтобы соответствовать правильной цене облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Δt. Иначе говоря, величина α0 устанавливается равной первоначальной процентной ставке, установленной на период At. Поскольку в нашем примере Δt = 1, то α0 = 0,03824. Таким образом, позиция начального узла на R-дереве определена (рис. 28.9). На следующем этапе вычисляются величины Q1,1, Q1,0 и Q1,-1. Вероятность того, что траектория пройдет через узел (1, 1), равна 0,1667, а дисконтная ставка на первом шаге по времени равна 3,82%. Следовательно, величина Q1,1 равна 0,1667е-0,0382 = 0,1604. Аналогично Q1,0 = 0,6417 и Q1,-1 = 0,1604.

Вычислив величины Q1,1, Q1,0 И Q1,-1, МОЖНО приступать к вычислению величины α1. Она выбирается так, чтобы соответствовать правильной цене облигации с нулевым купоном, срок обращения которой завершается в момент 2Δt. Поскольку ΔR = 0,01732 и Δt = 1, цена этой облигации в узле В равна e-(α1 + 0,01732). Аналогично в узле C эта цена равна e1, а в узле D – e-(α1 – 0,01732). Таким образом, цена этой облигации в начальном узле А равна

Из первоначальной временно́й структуры следует, что цена облигации должна быть равной e-0,04512 x 2 = 0,9137. Подставляя величины Q в формулу (28.21), получаем следующее.

Иначе говоря,

т.е.

Это значит, что центральный узел 72-дерева в момент Δt соответствует процентной ставке 5,205% (см. рис. 28.9).

На следующем этапе вычисляются величины Q2, 2, Q2, 1, Q2, 0, Q2, -1 и Q2, -2. Эти вычисления можно упростить, используя значения Q, вычисленные ранее. Рассмотрим, например, процедуру вычисления величины Q2, 1. Она равна стоимости ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория проходит через узел F, и нулю в противном случае. В узел F можно попасть только из узлов В и С. Процентные ставки в этих узлах равны 6,937 и 5,205% соответственно. Вероятности, связанные с ветвями В – F и С – F, равны 0,6566 и 0,1667. Следовательно, стоимость ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория проходит через узел F, равна 0,6566е-0,06937. Стоимость этой ценной бумаги в узле С равна 0,6566е-0,05205. Величина Q2, 1 равна сумме текущей стоимости одного доллара, полученного в узле В, умноженной на 0,6566е-0,06937, и текущей стоимости одного доллара, полученного в узле С, умноженной на 0,6566е-0,05205. Иначе говоря,

Аналогично Q2, 2 = 0,0182, Q2, 0 = 0,4736, Q2, -1 = 0,2033 и Q2, -2 = 0,0189.

На следующем этапе построения 72-дерева, представленного на рис. 28.9, необходимо вычислить величину α2. После этого вычисляются величины Q3, j. Затем определяется значение α3 и т.д.

Формулы для вычисления параметров α и Q

Чтобы описать этот метод более формально, предположим, что величины Qi, j определены для всех i ≤ m (m ≥ 0). На следующем этапе необходимо вычислить параметры αm, так чтобы дерево правильно оценивало облигацию с нулевым купоном, срок обращения которой заканчивается в момент (т + 1)Δt. Процентная ставка в узле (m, j) равна αm + jΔR. Следовательно, цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой заканчивается в момент (m + 1)Δt, выражается следующей формулой.

Здесь nm – количество узлов с каждой стороны от центрального узла в момент mΔt. Решение этого уравнения имеет следующий вид.

Определив значение αm, можно вычислить величины Qi, j для i = m + 1.

Здесь q(k, j) – вероятность перехода из узла (m, k) в узел (m + 1, k), а суммирование проводится по всем ненулевым значениям индекса k.

Распространение метода на другие модели

Процедуру, описанную выше, можно применить к более общим моделям, имеющим вид

Это семейство моделей позволяет воспроизвести любую временну́ю структуру.

Как и прежде, будем предполагать, что ставка R, установленная на период Δt, описывается тем же процессом, что и ставка r.

Введем обозначение х = f(R). Тогда процесс примет следующий вид.

На первом этапе строится дерево для величины х*, подчиняющейся тому же стохастическому процессу, за исключением того, что θ(t) = 0 и первоначальное значение х также равно нулю. Эта процедура идентична процедуре, описанной на примере дерева, изображенного на рис. 28.8.

Затем, как показано на рис. 28.9, следует сместить узлы в момент iΔt на величину αi, обеспечивая точное воспроизведение первоначальной временной структуры. Уравнения для индуктивного определения параметров αi и Qi, j немного отличаются от уравнений для определения аналогичных параметров, если f(R) = R. Величина Q в первом узле Q0, 0 полагается равной единице. Предположим, что величины уже определены для индексов i ≤ m (m ≥ 0). На следующем шаге вычисляются величины αm, гарантирующие, что дерево правильно оценивает цены облигации с нулевым купоном в момент (m + 1)Δt. Пусть g – функция, обратная к функции f. Тогда процентная ставка, установленная на период Δt в j-м узле в момент mΔt, равна

Цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент (m + 1)Δt, вычисляется следующим образом.

Это уравнение можно решить с помощью одной из вычислительных процедур, например, метода Ньютона-Рафсона. Если m = 0, то α0 = f(R(0)).

Определив параметр αm, можно вычислить величины Qi, j для индекса i = m + 1 используя формулу

где q(k, j) – вероятность перехода из узла (m, k) в узел (m + 1, j), а суммирование производится по всем ненулевым значениям индекса k.

На рис. 28.10 показаны результаты применения этой процедуры к модели

при α = 0,22, σ = 0,25, Δt = 0,5 и нуль-купонных ставках, приведенных в табл. 28.1.

Выбор функции f(r)

Основными альтернативами при выборе модели краткосрочной процентной ставки являются f(r) = r (модель Халла-Уайта) и f(r) = ln(r) (модель Блэка-Карасински). В большинстве случаев эти модели используются для описания одних и тех же рыночных данных об активно продаваемых и покупаемых финансовых инструментах, таких как опционы “кэп” и европейские свопционы. Основное преимущество модели f(r) = r является ее аналитическое удобство, а главный ее недостаток заключается в том, что она допускаег отрицательные значения процентных ставок. В большинстве ситуаций вероятность отрицательных процентных ставок, возникающих в модели, очень мала, но некоторые аналитики предпочитают иметь дело с моделями, в которых эта вероятность равна нулю. Модель f(r) = ln(r) не содержит аналитических формул, но зато она гарантирует, что все процентные ставки являются положительными. Другое преимущество этой модели состоит в том, что трейдеры, как правило, интересуются волатильностью σ, возникающей в логнормальной, а не нормальной модели.

Выбрать удовлетворительную модель для стран, в которых установлены низкие процентные ставки, довольно трудно. (В момент написания книги к числу таких стран относилась, например, Япония.) С одной стороны, нормальная модель не подходит, поскольку, если первоначальная процентная ставка является низкой, то вероятность отрицательных нормальных ставок в будущем становится заметной. С другой стороны, логнормальная модель также не решает проблему, поскольку волатильность ставок (т.е. параметр σ в логнормальной модели) обычно намного больше, если ставки установлены на низком, а не высоком уровне. (Например, если ставка установлена на уровне 1%, даже волатильность, равная 100%, может оказаться вполне приемлемой. Однако если ставка установлена на уровне 4% или выше, максимальная приемлемая волатильность снижается до 20%.) Модель считается приемлемой, если значение f(r) выбрано так, что при ставке r, меньшей 1%, процентные ставки имеют логнормальное распределение, а если ставка r больше 1%, процентные ставки имеют нормальное распределение.

Применение деревьев в сочетании с аналитическими формулами

Если дерево построено по варианту модели Халл-Уайта, в которой f(r) = r, для описания полной временной структуры и оценки европейских опционов в каждом узле можно воспользоваться аналитическими формулами, изложенными в разделе 28.3. Следует подчеркнуть, что процентная ставка, поведение которой описывается этим деревом, представляет собой ставку R, установленную на период Δt. Она не совпадает с мгновенной процентной ставкой r.

С помощью формул (28.15)-(28.17) можно доказать, что (см. задачу 28.21)

где

и

(В модели Хо-Ли в этих формулах следует положить B̂ (t,T) = T – t.)

Таким образом, стоимость облигаций следует вычислять по формуле (28.25), а не (28.15).

Пример 28.1

Как и в рассмотренном выше примере, используем нуль-купонные ставки, приведенные в табл. 28.2. Ставки для сроков действия, лежащих между указанными пределами, вычисляются методом линейной интерполяции.

Оценим трехлетний (= 3 х 365 дней) европейский опцион на продажу облигации с нулевым купоном, срок действия которого равен девяти годам (= 9 х 365 дней). Предполагается, что процентные ставки описываются моделью Халла-Уайта (при условии, что f(r) = r). Цена исполнения равна 63, а = 0,1 и σ = 0,01. Построение трехлетнего дерева и вычисление цен облигации с нулевым купоном в финальных узлах вычисляются по аналитическим формулам, приведенным выше. Как показано в табл. 28.3, результаты, вычисленные с помощью дерева, близки к результатам, полученным по аналитическим формулам.

Этот пример представляет собой хороший тест для реализации модели, поскольку градиент нулевой кривой резко изменяется сразу после истечения срока действия опциона. В этой ситуации небольшие ошибки в построении и использовании дерева при вычислении стоимости опциона могут привести к большим ошибкам. (Этот пример реализован в пункте Sample Application G программы DerivaGem Application Builder.)

Дерево для оценки американских облигационных опционов

В программе DerivaGem, сопровождающей книгу, реализованы нормальная и логнормальная модели, а также модель Блэка, позволяющие оценить европейские облигационные опционы, опционы “кэп” и “фло” и европейские свопционы. Кроме того, с помощью этой программы можно вычислить стоимость американских облигационных опционов. На рис. 28.11 показано дерево, построенное программой DerivaGem для оценки 1,5-летнего американского опциона на покупку 10-летней облигации с помощью четырех временных шагов и логнормальной модели, в которой а = 5% и σ = 20%. Срок обращения базовой облигации равен 10 годам, номинальная стоимость равна 100 долл., а купонные выплаты в размере 5% годовых вычисляются раз в полгода. Кривая доходности является плоской и проходит на уровне 5% годовых. Цена исполнения равна 105 долл. Как показано в разделе 26.2, цена исполнения может быть равной либо наличной, либо котировочной цене исполнения. В данном случае в качестве цены исполнения используется котировочная цена. Цена облигации, показанная на дереве, равна наличной цене облигации. Накопленный доход в каждом узле показан ниже дерева. Наличная цена исполнения равна сумме котировочной цены исполнения и накопленного дохода. Котировочная цена облигации равна разности между денежной ценой исполнения и накопленным доходом. Выигрыш по опциону равен разности между наличной ценой облигации и наличной ценой исполнения либо, что эквивалентно, разности между котировочной ценой облигации и котировочной ценой исполнения.

Стоимость опциона, вычисленного с помощью дерева, равна 0,668. Цена облигации, вычисленная с помощью намного более подробного дерева, построенного по 100 временным шагам, равна 0,699. По поводу рис. 28.11 следует сделать два замечания.

1. Время, оставшееся до истечения срока действия опциона, измеряется днями. Если ввести в программу срок действия опциона, равный 1,5 годам, то длительность опциона будет считаться равной 1,5014 лет (т.е. один год и 183 дня).

2. В рамках логнормальной модели цену десятилетней облигации невозможно вычислить с помощью аналитических формул. По этой причине она определяется численно на основе обратного обхода дерева, размер которого намного больше, чем показано на рис. 28.11.


Яндекс.Метрика
  Intrade Binary Альпари
Лучшие брокеры 2021: Бинарный брокер нового поколения. Вывод средств обычно – до 15 мин., менеджеры первыми не звонят клиентам (и не уговаривают пополнить торговый счет), бесплатный демо-счет, депозит – от $10, опционы – от $1, торговля и вывод средств – без верификации. Один из лучших бинарных брокеров 2021 года – компания «Binary.com». На рынке – с 2000 года. Доступны опционы на основные валютные пары, индексы, сырьевые рынки и индексы волатильности. Торговля в режиме 24/7, экспирация опционов: от 5 тиков – до 1 года. Компания легально предоставляет услуги, в том числе, клиентам из стран Евросоюза. Бинарные опционы («Fix-Contracts») от лучшего Форекс-брокера 2021 года – компании «Альпари». Минимальный контракт – от $1, экспирация – от 30 сек. Типы опционов: «Выше/Ниже», «Касание», «Диапазон», «Спред», «Экспресс», «Турбо». Альпари – один из наиболее надежных Форекс-брокеров. Более 2 млн. клиентов из 150 стран. На рынке – с 1998 года.
Содержание Далее
  Один из лучших брокеров бинарных опционов – компания «Deriv». На рынке – с 2000 года. Торговля в режиме: 24х7, опционы – от $1, экспирация – от 5 тиков до 1 года, также доступны все основные валютные пары, индексы, сырьевые рынки и индексы волатильности. Легально предоставляет услуги, в том числе клиентам из стран Евросоюза.