28.8. Калибровка

До сих пор мы предполагали, что параметры a и σ – неважно, постоянные или нет – были известны. Обсудим теперь, как их можно определить. Эта процедура называется калибровкой модели.

опционах, являющихся предметами активной торговли (например, котировок брокеров, приведенных в табл. 26.1 и 26.2). Такие опционы называются калибрующими инструментами (calibration instruments). На первом этапе необходимо выбрать меру, с помощью которой оценивается согласованность данных. Допустим, что для калибровки используются n финансовых инструментов. Широко распространенной мерой оценки согласованности является функция

где U_ii – цена этого инструмента, вычисленная по модели. Целью калибровки является выбор параметров модели, минимизирующих меру отклонения данных.

Если параметры a и σ являются постоянными, то в модели существует только два параметра волатильности. Если параметры a и σ зависят от времени, то для их описания удобно использовать ступенчатые функции. Допустим, что параметр a является постоянным, а параметр σ зависит от времени. Выберем моменты времени t₁, t₂, t_n и предположим, что σ(t) = σ₀ для t ≤ t₁, σ(t) = σ₁ для t₁ < t ≤ t_{i + 1} (1 ≤ i ≤ n – 1) и σ(t) = σ_n для t > t_n. В таком случае модель содержит n + 2 параметра волатильности: а, σ₀, σ₁,..., σ_n. Количество параметров волатильности всегда должно быть меньше количества калибрующих инструментов.

Минимизацию меры согласованности можно осуществить с помощью процедуры Левенберга-Маркварта (Levenberg-Marquart). Если параметры a или σ (или оба) являются функциями от времени, к мере согласованности данных часто добавляется штрафная функция, обеспечивающая регулярность минимизируемой функции. В рассмотренном выше примере, в котором параметр σ представляет собой ступенчатую функцию, целевую функцию следует выбрать следующим образом.

Второе слагаемое представляет собой штраф за большие изменения параметра σ между двумя последовательными моментами времени. Третье слагаемое является штрафом за высокую кривизну. Параметры w_{1, i} и w_{2, i} выбираются эмпирически. Они должны гарантировать гладкость функции, описывающей поведение параметра σ.

Выбранные калибрующие инструменты должны быть как можно более похожими на оцениваемую ценную бумагу. Предположим, например, что нам необходимо оценить бермудский свопцион, срок действия которого равен десяти годам. Этот свопцион можно досрочно исполнить между пятым и девятым годами, считая, что срок действия опциона отсчитывается начиная с сегодняшнего дня. Наиболее подходящими инструментами являются европейские свопционы 5x5, 6x4, 7x3, 8 х 2 и 9 х 1. (Запись п х т означает n-летний опцион на заключение свопа, срок действия которого на т лет превышает срок действия опциона.)

Преимущество моделей, в которых параметры а и σ зависят от времени, заключается в том, что с их помощью можно гораздо точнее оценить финансовые инструменты, являющиеся предметом активной торговли на рынке. К недостаткам этих моделей следует отнести нестационарность структуры волатильности. Предсказанная структура волатильности в этих моделях часто довольно сильно отличается от реальной.

Иногда для оценки оптимальных постоянных параметров а и σ используются все доступные инструменты калибровки. Затем параметр a фиксируется на оптимальном уровне. После этого модель используется точно так же, как и модель Блэка-Шоулза.

Между ценами опциона и параметром σ существует взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, эту модель можно использовать для преобразования таблиц, таких как табл. 26.1 и 26.2, в таблицы подразумеваемых волатильностей σ. Иногда эти таблицы оказываются более удобным способом оценки параметра σ.