|
28.1. В чем заключается разница между моделями равновесия и безарбитражными моделями?
28.2. Предположим, что текущий уровень краткосрочной процентной ставки равен 4%, а ее стандартное отклонение равно 1% в год. Как изменится стандартное отклонение, если краткосрочная ставка увеличится на 8% 1) в модели Васичека; 2) в модели Рендлемана-Барттера; и 3) в модели Кокса-Ингерсолла-Росса?
28.3. Если цена акции имеет тенденцию возвращения к среднему или зависит от предыстории, то, возможно, она является несостоятельной. Почему этот эффект не возникает, если краткосрочная процентная ставка подчиняется тому же стохастическому процессу?
28.4. Объясните разницу между однофакторной и двухфакторной моделями процентных ставок.
28.5. Можно ли подход, описанный в разделе 28.4 для декомпозиции опциона на облигацию с купонными выплатами на портфель опционов на нулевые купоны, использовать в сочетании с двухфакторной моделью? Аргументируйте свой ответ.
28.6. Предположим, что в моделях Васичека и Коска-Ингерсолла-Росса а = 0,1, b = 0,1. В обеих моделях начальная процентная ставка равна 10%, а начальное стандартное отклонение изменения краткосрочной процентной ставки за короткий промежуток времени Δt равно 0,02√Δt. Сравните цены десятилетней облигации с нулевым купоном, вычисленные по обеим моделям.
28.7. Предположим, что в модели Васичека а = 0,1, b = 0,08 и σ = 0,015, а начальная процентная ставка равна 5%. Вычислите цену однолетнего европейского опциона на покупку облигации с нулевым купоном при условии, что ее номинальная стоимость равна 100 долл., срок обращения равен трем годам, а цена исполнения опциона равна 87 долл.
28.8. Повторите решение задачи 28.7 и оцените стоимость европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 87 долл. В чем заключается смысл паритета цен опционов “колл” и “пут”? Докажите, что цены опционов на покупку и продажу облигации с нулевым купоном, упомянутой в задаче, не нарушают паритет.
28.9. Предположим, что в модели Васичека а = 0,05, b = 0,08 и σ = 0,015, а начальная процентная ставка равна 6%. Вычислите цену 2,1-летнего европейского опциона на покупку трехлетней облигации. Предположим, что купонные выплаты по облигации в размере 5% выплачиваются раз в полгода. Номинальная стоимость облигации равна 100 долл., а цена исполнения опциона равна 99 долл. Цена исполнения, выплачиваемая за облигацию, равна ее наличной цене (а не котировочной).
28.10. Используя ответ, полученный при решении задачи 28.9, и паритет опционов “колл” и “пут”, вычислите цену опциона “пут”, условия которого совпадают с условиями опциона “колл” в задаче 28.9.
28.11. Предположим, что в модели Халла-Уайта а = 0,08 и σ = 0,01. Вычислите цену однолетнего европейского опциона на покупку облигации с нулевым купоном при условии, что ее номинальная стоимость равна 100 долл., временная структура является горизонтальной, срок обращения равен пяти годам, а цена исполнения опциона равна 68 долл.
28.12. Предположим, что в модели Халла-Уайта а = 0,05, σ = 0,015, а начальная временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 6% при полугодовом начислении. Вычислите цену 2,1-летнего европейского опциона на покупку трехлетней облигации. Предположим, что купонные выплаты по облигации равны 5% и осуществляются раз в полгода. Номинальная стоимость облигации равна 100, а цена исполнения опциона равна 99. Цена исполнения, выплачиваемая за облигацию, равна ее наличной цене (а не котировочной).
28.13. Используя аргументацию, основанную на изменении масштаба цен, докажите, что зависимость между фьючерсной и форвардной процентными ставками в модели Хо-Ли имеет вид, показанный в разделе 6.4. Используя эту зависимость, проверьте справедливость выражения (28.11) для функции θ(t) в модели Хо-Ли. (Подсказка: если рыночная цена риска равна нулю, то фьючерсная цена является мартингалом. Если рыночная цена риска равна стоимости нуль-купонной облигации, срок погашения которой равен сроку действия контракта, то форвардная цена является мартингалом.)
28.14. Используя подход, примененный для решения задачи 28.13, установите зависимость между фьючерсной и форвардной ставками в модели Халла- Уайта. Используя эту зависимость, проверьте справедливость выражения (28.14) для функции θ(t) в модели Халла-Уайта.
28.15. Предположим, что а = 0,05 и σ = 0,015, а временна́я структура является горизонтальной и проходит на уровне 10%. Постройте триномиальное дерево по модели Халла-Уайта, в которой используется два шага по времени, по одному году каждый.
28.16. Вычислите цену двухлетней облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.6.
28.17. Вычислите цену двухлетней облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.9, и проверьте, согласуется ли она с начальной временной структурой.
28.18. Вычислите цену 18-месячной облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.9, и проверьте, согласуется ли она с начальной временной структурой.
28.19. С какими вычислениями связана калибровка однофакторной модели временной структуры?
28.20. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость европейских свопционов 1 x 4, 2 x 3, 3 x 2 и 4 x 1, дающих право получать фиксированную ставку и получать плавающую. Предположим, что однолетняя, двухлетняя, трехлетняя, четырехлетняя и пятилетняя процентные ставки равны 6, 5,5, 6, 6,5 и 7% соответственно. Выплаты по свопу осуществляются раз в полгода, а фиксированная ставка равна 6% в год при полугодовом начислении. Используйте модель Халла-Уайта с параметрами а = 3% и σ = 1%. Вычислите волатильность каждого опциона, подразумеваемую в модели Блэка.
28.21. Докажите формулы (28.25)-(28.27).
|
